§ 80. Распространение инфразвука в море. Трехмерная задача

В предыдущем параграфе мы ограничились плоской задачей распространения звука в море, имея целью простейшим способом выяснить влияние границы, которую нельзя охарактеризовать Ьормальной проводимостью, на волноводное распространение. Теперь рассмотрим задачу, более реально отвечающую естественным волноводам в виде слоев (морю или атмосфере), — задачу о радиально-симметричном распространении звука в слое. В этом случае нормальные волны будут стоячими только по вертикальной координате Для нахождения нормальных волн придется раньше всего получить волновое уравнение в цилиндрических координатах. Имея в виду в следующем параграфе рассмотреть также в

цилиндрических координатах задачи, не имеющие такой симметрии, напишем соответственное волновое уравнение в общем виде. Такое уравнение можно было бы получить из декартовой записи путем замены переменных, однако здесь приведем более наглядный вывод, исходящий из векторной записи уравнения. Уравнение Гельмгольца для гармонической волны можно записать в виде

Первый член слева найдем как отношение потока вектора через поверхность элемента среды, ограниченного близкими координатными поверхностями, к объему этого элемента. В цилиндрических координатах компоненты вектора равны Объем элемента среды, вырезываемого координатными поверхностями (рис. 80.1) равен Поток, вытекающий из этого объема, равен

Деля на объем элемента, получим

и уравнение Гельмгольца примет вид

Рис. 80.1. Элемент объема среды в цилиндрических координатах.

Поскольку для радиально-симметричной задачи зависимость от угла отсутствует, можем отбросить в уравнении член с угловой производной и будем искать решение в виде волны, давление в которой равно произведению некоторой функции от вертикальной координаты 2 на некоторую функцию от радиуса т. е. Подставляя в (80.1) и разделяя переменные, найдем

Так как слева стоит функция только от а справа — функция только от то обе части должны равняться постоянной. Обозначая её через , получим решение для в виде стоячей волны по оси

т. е. ту же зависимость, что и для плоской волны, Уравнение для примет вид

— уравнение для бесселевых функций нулевого порядка. Волна, бегущая от центра, выразится через ханкелеву функцию первого рода: . Таким образом, искомая нормальная волна есть

Формула полностью аналогична выражению (70.3), с той разницей, что бегущая плоская волна заменена бегущей цилиндрической волной. Величины найдутся из граничных условий: они будут совпадать со значениями для соответственной плоской волны той же частоты, бегущей в том же волноводе. Для цилиндрических и плоских нормальных волн будут совпадать дисперсионные уравнения, нумерация нормальных волн, распределение давлений и компонент скоростей частиц. Различаться будут только закон спадания поля с расстоянием и набег фазы, вблизи начала координат. В цилиндрической волне происходит спадание амплитуды асимптотически как в то время как двухмерная волна в слое свою амплитуду сохраняет. На больших дистанциях набег фазы нарастает одинаково для обоих типов волн.

Не имеет аналога для двухмерных волн особенность давления на оси (логарифмическая особенность функции Ханкеля нулевого порядка). Она указывает на наличие «сторонних воздействий» в области вблизи оси. Действительно, для двухмерных волн данная нормальная волна приходит из «минус-бесконечности»; но для цилиндрической волны «минус-бесконечности» нет: волна приходит из начала координат. Требуемое «стороннее воздействие» найдем так: радиальная скорость частиц вблизи оси есть

Поместив на оси цилиндр, поверхность которого пульсирует со скоростями т. е. цилиндр, вытесняющий среду, для каждого слоя высоты со скоростью

(для малых это распределение не зависит от ), получим нормальную скорость на поверхности цилиндра, равную нормальной скорости в найденной волне. Поэтому, заменяя цилиндрический участок среды вблизи оси таким пульсирующим цилиндром, придем к представлению об излучении цилиндрической нормальной волны в слой (ср. § 74).