§ 127. Затухание волн конечной амплитуды, обусловленное нелинейностью

Для волн конечной амплитуды распространение сопровождается затуханием, не связанным с поглощением энергии, а обусловленным переходом части энергии исходной волны в волну квадратичной поправки. Принятый нами метод расчета квадратичной поправки не позволяет найти это затухание непосредственно. С таким же положением вещей мы встречались в вопросе о затухании волны, распространяющейся в слабо рассеивающей среде и теряющей свою энергию на создание рассеянных волн. Как в задаче о рассеянии, так и в задаче о распространении волн конечной амплитуды метод малых возмущений позволяет (со всеми оговорками о малости эффекта рассеяния или соответственно нелинейности) найти с достаточной точностью добавочное поле, но он совершенно не учитывает обратного воздействия возникающих волн на исходную волну, которое и приводит к ее затуханию. В задаче о рассеянии мы все же нашли искомое затухание, применив закон сохранения энергии: суммарная энергия падающей и рассеянной волн должна была оставаться постоянной. Аналогичный прием применим и в задаче о нелинейности: в отсутствие поглощения энергия волны квадратичной поправки в сумме с энергией волны первого приближения должна сохраняться.

Рассмотрим в качестве волны первого приближения бегущую плоскую волну, излучаемую поршнем, создающим в данной точке гармоническое давление В этом случае амплитуда второй гармоники оказывается, согласно (125.8), равной Плотность потока мощности этой волны пропорциональна квадрату ее амплитуды Значит, эта величина вычтется из плотности потока мощности исходной волны, пропорционального квадрату исходной амплитуды Оставшаяся плотность потока мощности пропорциональна Извлекая корень квадратный из этой величины, найдем амплитуду исходной волны, уменьшившуюся вследствие затухания. Ввиду предположенной малости амплитуды второй гармоники по сравнению с амплитудой исходной волны имеем приближенно для амплитуды исходной волны на расстоянии а. от излучателя

где расстояние от излучателя, выраженное в длинах исходной волны.

Таким образом, уменьшение амплитуды пропорционально квадрату пути, пройденного волной: по мере нарастания второй гармоники энергия отбирается от первой гармоники и передается второй гармонике все быстрее и быстрее. В этом принципиальное отличие хода нелинейного затухания от затухания, вызванного поглощением энергии в среде или рассеянием на малых неоднородностях, для которых затухание не зависит от амплитуды исходной волны и пропорционально длине пути, пройденного волной. Нелинейное же затухание оказывается пропорциональным теперь квадрату амплитуды и квадрату длины пройденного пути (напоминаем, что все сказанное относится только к начальным участкам распространения, когда при расчете квадратичной поправки еще можно считать амплитуду исходной волны неизменной и, исходя из полученного результата, рассчитывать уменьшение амплитуды).

Рис. 127.1. Зависимость амплитуды гармонической волны от длины пробегадля нелинейного затухания (а) и для линейного поглощения звука (б)

На рис. 127.1 даны примерные графики начального хода затухания амплитуды волны, вызванного нелинейностью (парабола а) и линейным поглощением или рассеянием (экспонента б). Ясно, что уменьшение амплитуды волны, обусловленное нелинейностью, нельзя охарактеризовать коэффициентом затухания.

В разобранном случае задача состояла в нахождении пространственного нелинейного затухания. В другой постановке задачи, при задании начального условия при придем к временному нелинейному затуханию. Если исходная волна в момент времени задана в виде

то, как нетрудно показать, в результате перекачки ее энергии во вторую гармонику амплитуда будет уменьшаться с течением времени по закону

где протекшее время, выраженное в периодах волны.

Нелинейность не только вызывает переход энергии из волны в ее квадратичную гармонику, что не связано с уменьшением суммарной акустической энергии; она вызывает и ускоренное поглощение звуковой энергии и переход ее в тепло. В самом деле, во всякой реальной среде имеется поглощение звуковой энергии,

и, как правило, чем выше частота, тем это поглощение происходит быстрее. Значит, энергия, переходящая из данной волны в ее гармонику, будет поглощена в среде быстрее, чем она погло-. щалась бы, оставаясь в волне основной частоты.