§ 45. Проводимость и импеданс линейного препятствия. Поле перед препятствием

Вернемся к отражением от препятствий с резкими границами.

Часто приходится встречаться с линейными препятствиями, отражение волн от которых неправильное. В этом случае для нахождения отражения применяют метод Фурье, разлагая падающую волну в суперпозицию гармонических плоских волн разных частот, которые, как было показано в § 42, отражаются без изменения формы, но, вообще, с разными коэффициентами отражения. Суперпозиция отраженных гармонических волн и дает результирующую отраженную волну. Таким образом, можно ограничиться задачей об отражении только гармонических волн. Коэффициент отражения гармонической волны зависит не только от препятствия, но и от среды из которой падает и в которую отражается волна. Поэтому желательно дать такую характеристику препятствия, которая не зависела бы от вида среды, в которую оно помещено.

Рассмотрим отражение гармонической волны от препятствия, помещенного в точку Пусть падающая волна есть Тогда отраженная волна должна иметь вид и результирующие давление и скорость частиц на границе соответственно равны:

Эта скорость одновременно является скоростью поверхности препятствия, вызванной результирующим давлением ,

синфазно действующим на всю поверхность препятствия. Отношение скорости к давлению на границе не зависит от времени. Будем называть его входной проводимостью препятствия для данной частоты при нормальном падении и обозначать буквой Легко видеть, что

Проводимость — это и есть желаемая характеристика препятствия: эта величина не зависит от вида среды, соприкасающейся с препятствием, и не зависит даже от того, имеется ли вообще такая соприкасающаясясреда. Давление можно было бы прикладывать не при помощи звуковой волны, а, например, твердым поршнем, пондеромоторными силами, синфазно действующими на всю поверхность препятствия, и т. п. Во всех этих случаях отношение скорости к давлению на поверхности препятствия окажется для данной частоты одним и тем же.

Проводимость данного препятствия может зависеть только от частоты; коэффициент же отражения гармонической волны, отражающейся от данного препятствия, зависит и от свойств среды. Действительно, из (45.1) находим

Если препятствием является вторая среда, то проводимость препятствия есть волновая проводимость этой среды: и (45.2) можно свести к первой формуле (43.2). В этом случае (как и для идеальных границ) проводимость препятствия не зависит от частоты; отсюда следует, как мы уже знаем из § 43, что в этом случае при отражении свою форму сохраняют все волны и что формула (45.2) годится для волн любой формы. Вообще же проводимость препятствий других типов от частоты зависит, волны произвольной формы при отражении от таких препятствий свою форму меняют, а для гармонических волн формула (45.2) годится, только если для каждой частоты подставлять свое значение проводимости.

Если препятствие — некоторая известная конструкция, то его проводимость можно рассчитать по законам механики. Ниже мы дадим такой расчет для ряда различных препятствий. Когда постоянно имеют дело с одной и той же средой (обычно это воздух или вода), в которую помещают различные препятствия, удобно пользоваться величиной относительной проводимости отношением проводимости препятствия к волновой проводимости среды: Коэффициент отражения выражается через относительную проводимость формулой

Во многих задачах удобнее пользоваться не проводимостью, а обратной величиной — так называемым входным импедансом препятствия равным отношению гармонически меняющегося давления на поверхности препятствия к вызываемой этим давлением скорости поверхности. Коэффициент отражения гармонической волны выражается через импеданс поверхности формулой

Вводя относительный импеданс препятствия как отношение импеданса к волновому сопротивлению среды, выразим коэффициент отражения формулой

В дальнейшем будем характеризовать свойства поверхности то проводимостью, то импедансом, в зависимости от того, что даст возможность получить более простые формулы.

Рассмотренные в § 41 препятствия в виде свободной границы и жесткой стенки также можно охарактеризовать проводимостями или импедансами. Импеданс свободной границы равен нулю, ее проводимость равна бесконечности; импеданс жесткой стенки равен бесконечности, ее проводимость равна нулю. Если относительная проводимость препятствия велика по сравнению с единицей (модуль импеданса мал по сравнению с волновым сопротивлением среды), то коэффициент отражения близок , так что препятствие ведет себя подобно свободной границе. Если относительная проводимость препятствия мала сравнительно с единицей (модуль импеданса велик по сравнению с волновым сопротивлением среды), то коэффициент отражения близок к так что препятствие ведет себя подобно абсолютно жесткой стенке. Одно и то же препятствие при данной частоте может вести себя то как свободная граница, то как жесткая стенка, в зависимости от волнового сопротивления среды, в которую помещено препятствие. С другой стороны, как увидим ниже, в одной и той же среде одно и то же препятствие может вести себя то как жесткая стенка, то как свободная граница, в зависимости от частоты.

Проводимость препятствия может быть не только вещественным (как в случае препятствия в виде другой среды), но и комплексным числом (примеры таких препятствий рассмотрены в следующих параграфах). Если проводимость чисто мнимая, то модуль коэффициента отражения равен единице, так как в этом случае числитель и знаменатель выражения для коэффициента отражения отличаются только знаком действительной части. В общем случае проводимость имеет как мнимую, так и вещественную части. Положим , где вещественные. Тогда

коэффициент отражения равен

и его модуль выражается формулой

Отсюда видно, что при положительной вещественной проводимости модуль коэффициента отражения меньше единицы, а при отрицательной ) больше единицы.

Случай (обычно имеющий место на практике) соответствует частичному переходу энергии падающей звуковой волны из среды в препятствие. Это может быть как поглощение звуковой энергии препятствием (превращение ее в тепло, как, например, в звукопоглощающих материалах, которыми облицовывают стены залов для уменьшения «гулкости»), так и пропускание акустической энергии в среду позади препятствия, не связанное с поглощением. Более редкий случай приводит к росту энергии звука в среде при отражении; это — случай активного препятствия; таково, например, препятствие в виде фронта пламени, скорость горения которого зависит от давления.

Рассмотрим результирующее поле, образующееся перед препятствием при падении на него гармонической волны интерференционную картину, образованную падающей и отраженной волнами. Для общности предположим, что коэффициент отражения — комплексный:

где фаза коэффициента отражения. Амплитуда давления в разных точках перед препятствием определяется по формуле

Вдоль оси z амплитуда давления колеблется между значениями (в точках, где (в точках, где ). Максимумы и минимумы чередуются, располагаясь на расстоянии четверти длины волны звука друг от друга. Полуразность измеренных максимальных и минимальных значений амплитуды равна модулю коэффициента отражения. При изменении частоты вся эта интерференционная картина максимумов и минимумов перед препятствием сжимается или растягивается, так что все расстояния в этой картине пропорциональны длине волны звука.

Поле перед препятствием не есть вообще ни чисто бегущая, ни чисто стоячая волна. Его можно было бы представить как

суперпозицию стоячей и бегущей волн, однако такое разложение не однозначно. В самом деле, имеем

Ввиду такой неоднозначности подобному разложению нельзя приписать какой-либо определенный физический смысл. Волну перед препятствием удобно характеризовать коэффициентом бегучести и, определяемым как отношение минимальной амплитуды перед препятствием к максимальной:

Коэффициент бегучести обращается в нуль для чисто стоячей волны и в единицу для чисто бегущей. Перемещая приемник давления перед препятствием, можно измерить как коэффициент бегучести, так и расстояния от препятствия до ближайшего максимума и до ближайшего минимума давления. Зная к и или и и можно найти амплитуду и фазу коэффициента отражения, а зная коэффициент отражения, можно найти импеданс препятствия. В самом деле, согласно (45.8) фаза коэффициента отражения найдется по формуле

его абсолютная величина равна

Таким образом, коэффициент отражения равен

Отсюда, пользуясь формулой (45.1), найдем проводимость препятствия:

Этот прием определения проводимости широко применяется на практике.

Для препятствия в виде границы со второй средой фаза отражения равналибо 0 (при волновом сопротивлении второй среды большем, чем у первой), либо (при обратном соотношении между волновыми сопротивлениями). Модуль коэффициента отражения в этом случае от частоты не зависит. Волновое сопротивление второй среды выражается через коэффициент бегучести либо формулой либо формулой В первом случае на границе лежит максимум амплитуды давления, во втором — минимум.