ГЛАВА II. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ АКУСТИКИ. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ

§ 11. Полная система уравнений гидродинамики

В этой главе мы начинаем систематическое изучение акустики. «Остановка движения» — искусственный прием, которым удается рассматривать только однономерные бегущие волны. Поэтому сейчас обратимся к полной системе уравнений гидродинамики (о ней уже упоминалось в § 3), которая позволит изучать любые волны. Напомним вкратце вывод этих уравнений (подробности можно найти в любом учебнике гидродинамики)

Начнем с вывода уравнения Эйлера — уравнения движения частиц под действием сил упругости среды. Рассмотрим малую частицу среды объема , ограниченную поверхностью Так как частица мала, а характеристики среды непрерывны, можем считать плотность среды по всей частице постоянной, массу частицы приравнять и, полагая, что вся частица движется как одно целое, найти ее ускорение как производную ее скорости по времени. Силы, действующие на частицу со стороны окружающей среды, это силы давления. На элемент поверхности

— площадь элемента, единичная внешняя нормаль к поверхности) действует сила результирующая сил давления составит

Таким образом, в применении к частице, находящейся под действием только сил давления, второй закон Ньютона имеет вид

Согласно теореме Гаусса-Остроградского интеграл по поверхности можно заменить интегралом по объему:

Но при непрерывности всех характеристик среды градиент давления на протяжении малой частицы можно считать постоянным, так

что интеграл равен Окончательно, сокращая на и перенося все члены в одну часть, получимуравнение Эйлера

Если помимо сил давления на среду действуют сторонние силы, распределенные с плотностью на единицу объема, то уравнение (11.1) примет вид

Уравнение движения среды есть нелинейное векторное уравнение первого порядка относительно характеристик среды

Так как скорость частиц зависит и от времени, и от координат, то ее производную по времени следует брать с учетом того, что координаты частицы сами зависят от времени. Ускорение выражается через частные производные скорости по времени и по координатам следующим образом:

Первый член справа — так называемое локальное ускорение — производная скорости по времени, явно входящему; эта часть ускорения характеризует изменение скорости в данном месте пространства. При установившемся течении среды (например, при равномерном протекании жидкости по трубе переменного сечения) эта производная равна нулю. Остальные члены образуют так называемое конвективное ускорение, обусловленное переходом частицы из места с одной скоростью в место с другой скоростью. Например, при равномерном течении жидкости в трубе переменного сечения эта часть характеризует увеличение скорости частиц при переходе из широкой части трубы в узкую и уменьшение — при переходе из узкой части в широкую. Пользуясь (11.3), можно записать уравнение Эйлера в виде

Выведем теперь уравнение неразрывности среды. Название связано с тем, что это уравнение справедливо, только если в среде не образуется разрывов (как, например, разрывы при кавитации).

Рассмотрим объем среды, ограниченный неподвижной поверхностью Если разрывов нет, то приращение массы в объеме равно массе среды, втекшей через поверхность Скорость приращения массы в малом объеме равна масса, втекающая за единицу времени через элемент поверхности равна

Следовательно, уравнение неразрывности выразится следующим равенством:

Снова заменяя интеграл по поверхности интегралом по объему, получим

Ввиду малости рассматриваемого объема можно положить интеграл равным Сокращая на и перенося все члены в одну часть, получим окончательно уравнение неразрывности в виде

Уравнение неразрывности скалярно и, как и уравнение Эйлера, нелинейно относительно характеристик среды.

В дальнейшем встретятся случаи движения среды, удовлетворяющие вместо уравнения неразрывности уравнению вида

Это уравнение можно также интерпретировать как уравнение неразрывности, но примененное к среде, куда поступает «из ниоткуда» дополнительное «стороннее» количество среды. Величину V называют плотностью сторонней объемной скорости, она дает дополнительный объем, поступающий за единицу времени в единичный объем.

Наконец, уравнение состояния связывает давление, плотность (или сжатие) и температуру среды. Уравнение состояния не имеет какого-либо стандартного вида для всех веществ, наподобие уравнения Эйлера или уравнения неразрывности. Поэтому запишем его здесь в самом общем виде:

Уравнение состояния также нелинейно.

Если при данном движении среды плотность однозначно связана с давлением (так бывает обычно в акустике), то уравнение состояния можно записать в виде

Система уравнений (11.1), (11.5) и (11.7) или (11.8) является полной системой уравнений гидродинамики.