§ 73. Поглощающие стенки

Если стенки волновода частично поглощают падающий на них звук, то нфмальные волны распространяются в таком волноводе затуханием. Если стенки при этом по-прежнему характеризуются нормальной проводимостью, то это значит, что проводимость не чисто мнимая, а имеет положительную вещественную часть. Мы покажем, что в этом случае нормальная волна испытывает экспоненциальное затухание по мере распространения. Часто искусственно создают поглощение на стенках труб — искусственных волноводов; например, стенки вентиляционных каналов пожрывают изнутри звукопоглощающими покрытиями, чтобы уменьшить передачу шума вдоль каналов.

Заметим, что если бы затухание имелось в самой среде, то нормальные волны также затухали бы экспоненциально, причем затухающие нормальные волны получатся из найденных выше решений просто заменой вещественного волнового числа на волновое число с соответственной мнимой добавкой (см. гл. XII). Покажем, как найти затухание нормальных волн в случае, когда нижняя стенка волновода абсолютно жесткая, а верхняя характеризуется нормальной проводимостью с положительной вещественной частью: где Предположим также, что проводимость стенки мала (должны быть выполнены условия тогда форма нормальных волн мало меняется по сравнению со случаем абсолютно жестких стенок и расчет можно вести по уравнениям (72.4) и (72.5), полагая в них проводимость стенки комплексной. Выполняя подстановку, найдем из (72.4) для нулевой нормальной волны

В выбранном приближении, т. е. с точностью до первого порядка малости относительно наличие вещественной части проводимости не влияет на вещественную часть волнового числа, т. е. не сказывается на фазовой скорости волны. Затухание определяется экспоненциальным множителем Из формулы (72.5) получим аналогичное выражение для волнового числа, волны номера I:

Здесь также наличие затухания не влияет на скорость волн. Коэффициент затухания для нормальных волн высших порядков оказывается больше удвоенного коэффициента затухания для нулевой нормальной волны и растет с увеличением номера нормальной волны пропорционально фазовой скорости. Поэтому при распространении, например, в вентиляционном канале, проводимость стенок которого обычно можно считать малой, волны высших порядков быстро затухнут, волна же нулевого порядка затухнет слабо и сможет передать шум на большое расстояние вдоль канала. Так как подобная передача звука — нежелательное явление, то приходится принимать специальные меры для преобразования нулевой волны в волны высших типов, которые затухают быстрее.

Рассмотрим теперь более общий случай проводимости, не малой по сравнению с проводимостью массы среды в волноводе. Затухание же по-прежнему будем считать малым. Дисперсионное уравнение сохраняет прежнюю форму (72.3), но уже нельзя считать близким к Предположим, что нормальная волна в отсутствие поглощения на стенках известна и компоненты волновых

чисел плоских волн, образующих нормальную волну в таком волноводе, обозначим через где удовлетворяет уравнению

Так как малая вещественная добавка внесет малую поправку и в , то положим С точностью до малых первого порядка по Сохраняя в дисперсионном уравнении только первые степени найдем

Но Следовательно, приближенно

В этом приближении поглощение снова не влияет на скорость волны; поглощение оказывается уменьшенным по сравнению со случаем стенки малой проводимости.