§ 39. Плотность потока мощности в звуковой волне

Рассмотрим теперь передачу звуковойэнергии по среде. Передача осуществляется звуковым давлением, совершающим работу при перемещении частиц среды, на которые оно действует. При расчете передаваемой энергии достаточно учитывать работу только звукового давления, потому что, как показано в предыдущем параграфе, работа равновесного давления приводит лишь к перераспределению энергии в среде.

Найдем мощность сил звукового давления, действующего на частицы, расположенные на какой-либо плоской элементарной площадке Сила звукового давления, действующая на площадку, равна Пусть скорость частиц, лежащих на этой площадке, равна тогда искомая мощность есть Эта мощность зависит от ориентировки площадки по тому же закону, что и поток массы среды, протекающей через эту площадку: Поэтому, по аналогии с применяемым в гидродинамике понятием вектора плотности потока импульса среды введем вектор плотности потока мощности:

Мощность сил давления, приложенных к площадке равна

(аналогично формуле, выражающей поток вещества через площадку:

Формулы (39.1), (39.2) — общие гидродинамические формулы, если есть полное давление; но мы будем относить величины только к акустическим величинам (так же, как плотность энергии в предыдущем параграфе): плотность потока звуковой мощности будем рассматривать как условную величину в том же смысле, как плотность звуковой энергии в среде.

В бегущей плоской волне модуль вектора равен

а сам вектор направлен по вектору медленности волны. Плотность потока мощности в направлении какой-либо оси координат, например оси равна

Плотности потока мощности плоских волн, бегущих в одном направлении, не аддитивны. Так, плотность потока мощности

волны равна

Аддитивность получится, если рассматривать средние за длительный промежуток времени потоки мощности для гармонических волн разных частот или для статистических волн при условии их статистической независимости. Здесь положение такое же, как и при расчете плотности энергии суммы двух волн.

Плотность потока мощности суперпозиции двух плоских волн, бегущих навстречу друг другу, всегда равна разности плотностей потоков мощности этих волн. В самом деле, в суммарном поле волн имеем

откуда

Между плотностью звуковой энергии в среде и плотностью потока звуковой мощности существует важное соотношение, аналогичное закону сохранения энергии в механике. Умножим уравнение движения

скалярно на вектор и уравнение неразрывности

на давление Складывая полученные уравнения, найдем

В скобках стоят соответственно плотность звуковой энергии Е и вектор плотности потока мощности Значит,

Это — дифференциальный закон сохранения звуковой энергии в среде.

Проинтегрируем это уравнение по какому-либо объему , ограниченному неподвижной поверхностью При интегрировании второго слагаемого можно преобразовать объемный интеграл в поверхностный.

Получим

Эта формула выражает интегральный закон сохранения энергии для звуковой энергии.

Этот «акустический» закон сохранения энергии пришлось выводить специально, вместо того чтобы сослаться прямо на «обычный» закон сохранения энергии, потому что как плотность энергии, так и плотность потока мощности берутся не полностью: учитывается только их квадратичная — «акустическая» — часть по отношению к давлению и скорости, а перераспределение энергии не учитывается.

Полученная формула относится к замкнутым объемам. Однако для бегущей плоской волны, ограниченной во времени, формулу можно применять и к незамкнутой поверхности. В самом деле, пусть имеется плоская звуковая волна, исчезающаяна некотором расстоянии слева и справа от данной точки. Проведем через эту точку плоскость, перпендикулярную к направлению распространения волны. Слева и справа от этой плоскости построим цилиндры, опирающиеся на эту плоскость, с осью, параллельной направлению распространения волны, и замкнем эти цилиндры достаточно далеко справа и слева от плоскости, где возмущение уже отсутствует или еще отсутствует. Рассматривая каждый из этих цилиндров как замкнутый объем и применяя к каждому из них закон сохранения акустической энергии, получим, что поверхностные интегралы сводятся к интегралам по общему основанию цилиндров, так как потоки через боковые и через далекие стенки равны нулю.

Теорему о сохранении акустической энергии можно поэтому трактовать как протекание энергии сквозь плоскость, перпендикулярную к направлению распространения волны: уменьшение энергии с одной стороны плоскости равно увеличению энергии с другой стороны.

Легко найти величину этого потокам так как для выбранной поверхности нормаль совпадает с направлением скорости частиц, то, согласно (38.2), в расчете на единицу площади поток через плоскость равен

В этой формуле существенно использование соотношения справедливого только в отсутствие дисперсии. Тогда плотность потока мощности оказывается равной плотности энергии, умноженной на скорость волны. Этот результат наглядно интерпретируется так: энергия в бегущей плоской волне переносится со скоростью звука.

Заметим, что в гармонической волне связать наличие потока мощности или усредненного потока мощности с каким-либо переносом энергии нельзя: так как в гармонической волне возмущение охватывает всю среду, то замкнуть цилиндры, о которых шла речь выше, так, чтобы их основания оказались вне области возмущения, невозможно. Если же замкнуть цилиндры внутри возмущенной области, то теорема сохранения выразит только, что в замкнутом объеме энергия бегущей гармонической волны не изменяется в среднем за период. Тем не менее в этом случае плотность энергии можно локализовать и для гармонической волны в каждый момент времени.

Если в среде имеется дисперсия, то уравнение (39.6) справедливо только для монохроматических волн, т. е. в случае, когда нельзя говорить о переносе энергии по среде. При этом следует еще иметь в виду, что величина с в (39.6) — разная для различных частот. Но формулу, аналогичную (39.6) и дающую скорость перемещения энергии по среде, можно получить для узкополосного сигнала — группы волн. В самом деле, в этом случае вся энергия сосредоточена в области, занятой группой, и эта группа перемещается с групповой скоростью и. Поэтому энергия волны также перемещается с групповой скоростью, и вместо формулы (39.6) имеем теперь

Для гармонических волн мощность какого-либо процесса удобно характеризовать ее средним значением за период или за промежуток времени, большой по сравнению с периодом. Задача о нахождении среднего по времени произведения двух гармонических величин одного периода часто возникает в теории колебаний: к ней сводятся все задачи о нахождении мощности гармонических процессов любой природы. В акустике одна из величин — давление, другая — скорость; при воздействии какой-либо гармонической силы на тело одна из величин — сама сила, другая — скорость тела; в электрических цепях одна их величин — разность потенциалов, а другая — сила тока. Дадим общее правило нахождения средней мощности во всех этих задачах, причем будем обозначать перемножаемые величины по-прежнему буквами и V, какова бы ни была их физическая природа.

Рассмотрим самый общий случай:

когда между исходными величинами имеется некоторый сдвиг фаз Амплитуды будем считать вещественными. Поскольку нахождение мощности есть нелинейная операция над гармоническими величинами и V, перейдем к вещественной

записи:

Мгновенная мощность процесса равна

При усреднении по периоду волны второе слагаемое в скобках даст нуль. Таким образом, средняя мощность процесса равна

В частном случае синфазности величин средняя мощность равна

В случае, когда сдвинуты по фазе на 90°, средняя мощность равна нулю.

Часто удобно вычислять мощность без перехода к вещественной записи: как легко получить из (39.8), Значит,

В ряде случаев одну из величин, например и, удобно представить в виде суммы двух слагаемых, из которых одно синфазно со второй величиной а другое сдвинуто относительно нее на 90°. В комплексной записи это значит, что одно слагаемое пропорционально а второе пропорционально . В этом случае говорят об «одинаковой мнимости» и о «разной мнимости» величин. Пусть, например, величины одинаковой, а и - разной мнимости. Мгновенная мощность равна

В первом слагаемом сдвиг фаз между сомножителями равен нулю, значит, средняя величина этого слагаемого равна

Среднее значение второго слагаемого равно нулю. Следовательно, средняя мощность всего процесса есть

Слагаемые в (39.13) соответствуют слагаемым в скобках в (39.9). Первое слагаемое в обеих формулах дает постоянную мощность, производящую накапливающуюся с течением времени работу; это так называемая активная мощность процесса. Второй член, дающий в среднем по времени нуль, называют реактивной мощностью. Соответственно компоненты называют активной и реактивной компонентами величины относительно величины принятой за основную. Можно было бы принять за основную величину и тогда представить в виде суммы активной и реактивной составляющих относительно Модуль активной компоненты каждой величины относительно второй из них равен амплитуде, умноженной на косинус угла сдвига фаз между величинами. Этот косинус равен отношению активной мощности к амплитуде реактивной мощности.

При комплексной записи часто удобно вводить импеданс — отношение величин

Импеданс гармонического процесса — в общем случае комплексная величина, не зависящая от времени. Средняя мощность процесса простым образом выражается через вещественную часть импеданса и амплитуду скорости. В самом деле, в общем случае (39.8)

и вещественная часть импеданса равна откуда, пользуясь (39.10), непосредственно получаем

Согласно (22.5) вектор скорости частиц в гармонической звуковой волне можно представить в виде суммы

Первое слагаемое имеет мнимость, отличную от давления, а второе — ту же мнимость, что и давление. Отсюда видно, что пространственное изменение амплитуды колебаний в волне не дает вклада в средний поток мощности, и он определяется только градиентом фазы и направлен вдоль этого градиента. Средний вектор плотности потока мощности равен

Например, в бегущей плоской гармонической волне и, следовательно,

(что, конечно, можно было получить и непосредственно из соотношения

В стоячей волне средняя плотность потока мощности равна нулю.

В неоднородной гармонической волне вектор потока средней мощности направлен вдоль вещественной 4 компоненты волнового вектора и, согласно (39.16), равен В перпендикулярном направлении, вдоль мнимой компоненты волнового вектора а, средний поток мощности равен нулю, так как скорость частиц в направлении а имеет другую мнимость, чем давление.

Воспользуемся полученными результатами, чтобы найти мощность, уносимую от плоскости спектрами — плоскими волнами, излучаемыми плоскостью, на которой заданы бегущие синусоидальные распределения давления или скорости. Пусть задано давление при. причем пусть Тогда нормальная компонента скорости частиц на плоскости равна , где угол скольжения данного спектра; скорость и давление синфазны и средняя плотность потока в направлении оси равна

Рис. 39.1. а — мощность излучения волной давления, бегущей плоскости, б - мощность излучения волной нормальных скоростей, бегущей по плоскости. Эффективность излучения выше при излучении волной нормальных скоростей и быстро растет при уменьшении угла скольжения излученной волны.

При изменении угла скольжения от 90° до нуля при неизменной амплитуде давления излучаемая в направлении оси z мощность падает от своего максимального значения до нуля, изменяясь по закону (рис. 39.1, а). Таким образом, при заданной амплитуде давления на плоскости наиболее эффективно излучение, перпендикулярное к плоскости, — поршневое излучение.

При нормальная скорость оказывается разной мнимости с давлением. Поэтому средняя излучаемая энергия в этом случае равна нулю: бесконечная плоскость, вдоль которой бежит синусоидальная волна давлений, ничего не излучает, если скорость бега волны меньше скорости звука в среде (длина волны возмущения на плоскости меньше длины волны звука той же частоты в среде).

Обращение в нуль среднего потока мощности в направлении оси соответствует превращению данного спектра в неоднородную волну, бегущую вдоль плоскости

Найдем теперь излучение звука при задании на плоскости синусоидальной бегущей волны нормальных скоростей: при Давление на плоскости выразится в этом случае так: . Следовательно, при средний поток мощности будет равен

При заданной амплитуде нормальной скорости излучаемая мощность растет при изменении угла скольжения от 90е до нуля, изменяясь по закону (рис. 39.1, б). Поршневое излучение оказывается наименее эффективным, а скользящее — наиболее эффективным. При поток мощности обращается в нуль, как и при задании давления, по той же причине: создаваемая волна делается неоднородной, бегущей вдоль плоскости .