§ 113. Резонатор Гельмгольца. Рассеяние звука резонатором Гельмгольца

Низкая частота колебаний пузырька в жидкости обусловлена тем, что в колебаниях участвуют две среды с резко различными свойствами: эффективная масса осциллятора (присоединенная масса жидкости) велика благодаря большой плотности жидкости; эффективная упругость осциллятора (упругость газового объема) мала. Оказывается, что то же свойство низкочастотности колебаний малого объема можно получить и в одной среде, создавая устройство, в котором эффективная масса велика, несмотря на малую фактическую массу колеблющегося участка среды. Подобное устройство (резонатор Гельмгольца) состоит из сосуда, снабженного горлышком — узким отростком или отверстием, через которое сосуд сообщается с окружающей средой. При перемещении среды, заполняющей горлышко, в одну и в другую сторону среда в сосуде испытывает сжатия и разрежения, и давление в ней изменяется. На открытом же конце горлышка давление все время остается неизменным (атмосферным — для резбнатора Гельмгольца в воздухе). Разность давлений на концах горлышка ускоряет массу среды в горлышке. Ввиду узости горлышка скорость движения среды в нем велика по сравнению со скоростью среды внутри сосуда, так что кинетическая энергия сосредоточена в горлышке, несмотря на то, что фактическая масса среды в горлышке много меньш массы среды в сосуде. Упругая же энергия окажется сосредоточенной в среде внутри сосуда.

Таким образом, кинетическая и потенциальная энергия локализуются в разных телах: в среде в горлышке и в среде в сосуде. Значит, резонатор Гельмгольца можно считать, как и пузырек, осциллятором с сосредоточенными параметрами.

Рассчитаем собственную частоту такого резонатора. Если длина горлышка много больше его поперечника, то среда в горлышке движется как целое, и можно принять за обобщенную координату смещение и частиц в горлышке наружу. Обобщенной массой будет масса среды, заполняющая горлышко:

где площадь сечения горлышка, его длина, плотность среды. Степень сжатия среды в сосуде, соответствующая смещению и, есть — где объем сосуда. Значит, давление, возникающее в сосуде, равно где сжимаемость среды. Таким образом, обобщенная сила, действующая на обобщенную массу, равна

откуда находим обобщенный коэффициент упругости осциллятора в виде

Искомая резонансная частота колебаний равна

Отсюда получим, в частности, имея в виду соотношение :

Это равенство показывает, что длина волны на резонансной частоте не зависит от среды, заполняющей резонатор Гельмгольца, а только от его геометрических характеристик; отсюда следует, что резонансные частоты относятся как скорости звука в заполняющих средах.

Если вместо горлышка в стенке сосуда просто имеется малое отверстие, то скорость частиц в отверстии также будет повышена по сравнению со скоростью частиц в сосуде, так что можно считать, что кинетическая энергия сосредоточена в среде вблизи отверстия, Но движение среды в отверстии сложнее, чем движение в длинном горлышке: скорость имеет компоненту, как перпендикулярную к плоскости отверстия, так и-параллельную, и меняется также в обоих этих направлениях.

Примем за обобщенную координату среднее смещение среды в плоскости отверстия Обобщенная масса равна отношению удвоенной кинетической энергии среды вблизи отверстия к квадрату средней скорости среды в отверстии. При таком расчете среду можно считать несжимаемой, поскольку при низкой частоте собственных колебаний резонатора размеры отверстия малы по сравнению с длиной волны звука. Скорость среды быстро убывает при удалении от отверстия. Поэтому, если на протяжении, в несколько раз превышающем поперечник отверстия, стенка сосуда мало уклоняется от плоскости, то можно считать, что отверстие находится в плоском бесконечном экране. Если, кроме того, толщина стенки мала по сравнению с поперечными размерами отверстия, то ее можно считать бесконечно тонкой. Гидродинамический расчет, который здесь опускаем, дает значение эффективной массы, вычисленное при выполнении указанных условий для круглого отверстия:

где а — радиус отверстия. Через площадь отверстия эта масса выражается так:

Вообще эффективная «масса отверстия» зависит не только от его площади, но и от формы. Однако пока форма отверстия мало отличается от круговой, последняя формула дает хорошее приближение. Так, расчет показывает, что эффективная масса эллиптического отверстия с отношением осей всего на 3% меньше, чем для круглого отверстия той же площади. Сравнивая (113.5) с (113.1), видим, что «эффективная длина» для отверстия равна (для круглого отверстия Подставляя в (113.2), найдем формулу для собственной частоты резонатора с отверстием:

Для круглого отверстия получается

Отметим, что для резонатора с фактической длиной горлышка, равной формула (113.6) неприменима: длина горлышка не превосходит во много раз его поперечных размеров и влияние движения среды вблизи концов горлышка внесет заметную «концевую» поправку.

Свободные собственные колебания резонатора Гельмгольца затухают, потому что устье горлышка по отношению к внешней среде является источником объемной скорости: эта объемная скорость создаст излучение монопольного типа, в результате которого энергия резонатора будет постепенно «высвечиваться». Найдем коэффициент затухания резонатора, обусловленный таким излучением. Пусть амплитуда скорости частиц в горлышке резонатора равна Тогда объемная скорость, создаваемая при колебаниях, равна а следовательно, излучаемая мощность равна в среднем

С другой стороны, запас энергии в резонаторе равен максимальной кинетической энергии среды в горлышке, т. е.

Следовательно, коэффициент затухания равен

и число колебаний, после которого амплитуда колебаний убывает в раз, равно

Добротность резонатора есть

Подобно пузырьку газа в жидкости, резонатор Гельмгольца — препятствие, весьма сильно рассеивающее звук на своей резонансной частоте. Расчет его сечения рассеяния осуществляется так же, как и для пузырька. Под действием первичной волны резонансной частоты резонатор приходит в интенсивные колебания и переизлучает в виде сферической волны монопольного типа такую же мощность, какая поступает к нему от падающей волны; это и есть рассеиваемая им энергия. На резонансной частоте давление в первичной волне синфазно со скоростью частиц в горлышке. Значит, мощность, сообщаемая первичной волной резонатору, равна . С другой стороны, объемная скорость резонатора создает мощность излучения, определяемую формулой (113.8). Приравнивая эти две величины, найдем откуда найдется и рассеянная энергия:

Мы видим, что при резонансной частоте ни объемная скорость, ни, следовательно, рассеиваемая мощность не зависят ни от конструкции, ни от размеров резонатора, но только от частоты. Сравнивая эту мощность с плотностью потока мощности в первичной волне, найдем, что, как и для пузырька, сечение рассеяния резонатора Гельмгольца равно

При наличии необратимых потерь в резонаторе он не только рассеивает, но и поглощает звуковую энергию. Для резонатора также можно ввести понятие сечения поглощения при отсутствии рассеяния и соотношения между величинами и сечениями поглощения и рассеяния будут такими же, как для пузырька (см. формулы (112.11)-(112.15)),