§ 151. Крутоль

Жесткая сфера, погруженная в идеальную жидкость и совершающая вращательные колебания вокруг своей оси, оставляет жидкость в покое. Но такая же сфера, «вмороженная» в твердую среду, излучает волны поперечного типа. Такой излучатель поперечных волн назовем крутолем. Скорости частиц на поверхности крутоля равны

где амплитуда колебаний излучателя на экваторе сферы, а - полярный угол, отсчитываемый от оси вращения. Смещения точек сферы всюду направлены по параллелям. Естественно предположить, что в среде будет распространяться волна смещений, также направленных в каждой точке по соответственной параллели, не зависящих от долготы и зависящих от полярного угла так же, как и на поверхности крутоля:

Рис. 151.1. Силы, действующие на элемент объема.

Такое движение чисто соленоидальное. Если удастся так подобрать функцию и чтобы были выполнены как граничные условия на поверхности крутоля так и уравнение движения, то выражение (151.1) даст искомую поперечную волну смещений.

Выделим мысленно элементарный объем среды, ограниченный координатными поверхностями сферической системы (рис. 151.1). Стороны этого элемента равны а объем равен

Нормальные напряжения по граням выделенного криволинейного параллелепипеда равны нулю. В направлении параллели действуют только силы, вызываемые напряжениями и агрг, равными друг другу, поскольку симметричен тензор напряжений. Очевидно, также, что результирующие силы, действующие на элементарный объем в направлении радиуса и меридиана, обращаются в нуль.

Остается рассчитать результирующую силу в направлении параллели. Общий для всех напряжений и смещений множитель

будем пока опускать. Сила, действующая на грань и обусловленная напряжением — равна

а сила, действующая на противоположную грань, равна

Результирующая этих двух сил равна

Далее, силы, приложенные к противоположным граням равны и направлены по радиусам-векторам, одна — к центру и другая — от центра. Интересующие нас компоненты сил — это проекции указанных сил на плоскость параллели (компоненты вдоль полярного диаметра взаимно уничтожаются). Эти проекции равны по абсолютной величине и направлены одна к центру параллели и другая от центра. Результирующая их направлена вдоль параллели и равна Таким образом, результирующая всех сил, приложенных к данному элементу объема, направлена по касательной к параллели и равна

Значит, уравнение движения данного элемента имеет вид

Деля обе части на объем элемента, получим уравнение движения в виде

Остается выразить напряжение через смещение и. Деформация сдвига элемента равна половине изменения угла между ребрами Если бы направление ребра не менялось, то это изменение угла равнялось бы Но это ребро поворачивается на угол Учитывая направление поворота, видим, что эту величину следует вычесть из чтобы получить искомую деформацию:

Соответственное сдвиговое напряжение равно, следовательно,

Подставляя в уравнение движения, найдем уравнение для и в виде

Для гармонического колебания получаем отсюда

Это — известное уравнение сферических функций Бесселя первого порядка. Решение, соответствующее расходящейся волне, есть, как легко проверить и непосредственной подстановкой,

Амплитуда А определяется из граничного условия

Таким образом, окончательно поле крутоля получаем в виде

Отсюда легко найти напряжение на поверхности крутильно осциллирующего сферического излучателя сдвиговых волн:

Характеристика направленности поля крутоля совпадает с характеристикой вращающегося диполя (рис. 107.1).

Касательный импеданс среды на поверхности сферы найдем по формуле

Реактивная часть импеданса всегда положительна: реакция среды носит характер упругости; импеданс постоянен по всей сфере.

Особенно интересен случай малого радиуса сферы по сравнению с длиной сдвиговой волны. Тогда

Реактивная часть равна сопротивлению упругости при статическом сдвиге в слое толщиной в 1/3 радиуса сферы. Активная часть импеданса мала по сравнению с реактивной: она относится к касательному импедансу в плоской сдвиговой волне

Крутильный момент, с которым крутоль должен действовать на среду, чтобы создать данное излучение, равен

или, согласно (151.2),

Если плотность вещества сферы есть то момент инерции сферы равен и крутильный момент, который следует прикладывать к сфере, чтобы получить то же движение, нужно увеличить на Суммарный момент равен

Если сфера есть отвердевший участок самой среды, то в этой формуле следует положить .

Для малого радиуса сферы приближенно

Наконец, найдем мощность излучения крутоля. Так как угловая скорость вращения сферы равна то средняя активная мощность излучения найдется как т. е.

Для малого радиуса сферы приближенно

В этом случае излученную мощность можно с достаточной точностью выразить через модуль момента М или через модуль его реактивной части в виде