§ 25. Плоские гармонические волны

Произвольную плоскую волну можно разложить в спектр, Т. ее можно представить в виде суперпозиции плоских же гармонических волн (оговорки — те же, что и выше для спектрального разложения любой волны). Напишем в комплексной форме бегущую плоскую гармоническую волну. Как указано в § 17, выражение для плоской волны (в векторной записи) получается из выражения для временной зависимости в точке путем замены времени на бином где вектор медленности волны. В гармонической волне временная зависимость дается множителем Значит, бегущую плоскую гармоническую волну можно записать в виде

где постоянная (вообще — комплексная). Эту постоянную будем называть комплексной амплитудой плоской волны. Для гармонических волн удобно пользоваться вместо вектора медленности пропорциональным ему волновым вектором Плоская гармоническая волна записывается тогда в виде

что можно считать комплексной записью формулы (18.4) при Фронты волны совпадают с плоскостями перпендикулярными к к. Комплексная амплитуда колебания в какой-либо точке есть и равна амплитуде волны (общей для всех точек), умноженной на фазовый множи-. тель Если в той или иной задаче амплитуда волны несущественна (например, при нахождении коэффициента отражения волны от препятствия), то амплитуду, как и временной множитель, опускают:

Для волны, бегущей, например, вдоль оси х вправо или влево,

Для того чтобы вернуться к вещественной записи плоской волны, необходимо предварительно восстановить оба

комплексных множителя, и и лишь тогда брать вещественную часть от получившегося выражения:

В плоской гармонической волне зависимость от координат в данный момент времени также является синусоидальной, как и временная зависимость в каждой данной точке. Фаза комплексной амплитуды волны окажется существенной, только если придется иметь дело одновременно с несколькими волнами. Имея дело только с одной волной, всегда можно выбрать начало отсчета времени, например, так, чтобы амплитуда волны была вещественна

Скорость частиц в волне согласно (22.5), выражается формулой

Для плоской волны можно написать разложение Фурье, принимая за аргумент вместо времени линейную комбинацию Тогда спектр разложения не будет зависеть от координат. Разложение для волны, бегущей вдоль оси х, имеет вид

для периодической волны с периодом и вид

для непериодической волны, разложимой в интеграл Фурье по времени. Отсюда видно, что волна в каждый момент времени оказывается разложенной в спектр по координатам, т. е. представлена в виде суперпозиции синусоидальных пространственных распределений. Амплитуды спектров разложения не зависят ни от координат, ни от времени.

Кроме плоских волн, разложимых в ряд или в интеграл Фурье, возможны еще волны, хотя в таком виде и не представимые, но которые все же можно выразить в виде суперпозиции гармонических плоских волн. Такими волнами будут, в частности, волны вида

где - постоянные, величины несоизмеримы, а для всех

Переходя к декартовой системе координат, в которой направляющие косинусы волнового вектора равны у,

получим из (25.2) координатное представление плоской гармонической волны:

где проекции волнового вектора на оси координат у равны волновым числам следов волны на координатных осях. Так как эти проекции меньше модуля волнового вектора, то медленность следов меньше, чем медленность волны, а скорость следов больше скорости волны.

На координатных плоскостях следы волны представляют собой двухмерные гармонические волны. Например, на плоскости бежит волна с волновым числом равным проекции волнового вектора к на плоскость Скорость этого следа также больше скорости волны. Из уравнения (22.2) следует

Каждая комбинация трех вещественных чисел удовлетворяющих уравнению (25.7), соответствует плоской гармонической волне данной частоты, бегущей в направлении, определяемом направляющими косинусами

Часто располагают какую-либо координатную плоскость (например, плоскость параллельно волновому вектору данной плоской волны. Тогда движение не зависит от третьей координаты и волну можно записать в виде где Угол между волновым вектором и осью х называют углом скольжения данной волны Относительно оси х или относительно плоскости

Комплексная форма записи удобна не только для звуковых, но и для любых гармонических волн. Так, температурную волну (19.2) можно записать, опуская временной множитель, в виде

Вязкая волна (19.4) запишется в виде