Главная > Общая акустика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 85. Гармонические сферически-симметричные волны

Гармонические бегущие сферически-симметричные волны с единичной амплитудой давления на единичном расстоянии от центра имеют следующий вид:

где верхний знак отвечает расходящейся, а нижний — сходящейся волне. Соответственные значения скорости частиц равны

В выражении для скорости неволновой член, соответствующий — 1 в биноме, сдвинут на 90° по фазе от волнового, синфазного с давлением члена: До расстояния неволновой член по модулю преобладает; на больших расстояниях преобладает волновой член.

Стоячие сферические гармонические волны

можно рассматривать как сумму или разность двух бегущих.

Соответственные значения скорости частиц равны

Любую гармоническую сферически-симметричную волну можно представить в виде суперпозиции двух бегущих или двух стоячих или одной бегущей и одной стоячей волны, так же, как это делается и для плоских одномерных волн.

Обе бегущие волны и первая из стоячих имеют особенность в центре волны: бесконечную амплитуду давления. Поэтому такие волны имеют физический смысл только в том случае, если центр волны занят каким-либо телом. Вторая стоячая волна особенности не имеет и может существовать во всей среде, включая и центр волны; это частный случай волны вида (83.4). При стремлении радиуса к нулю скорость частиц в волнах, имеющих особенность, стремитсяк бесконечности и испытывает разрыв при прохождении через центр волны. В волне, особенности не имеющей, скорость частиц непрерывна и в центре волны обращается в нуль.

Каждая из указанных волн соответствует определенной акустической ситуации. Например, расходящуюся волну можно создать, помещая пульсирующую сферу в неограниченную среду. Сходящуюся волну можно создать в жидкости, заполняющей сферический сосуд, стенки которого совершают пульсационные колебания, помещая в центре поглотитель, целиком поглощающий сходящуюся волну, так что расходящаяся волна не возникает (ниже найдем, каковы должны быть свойства такого поглотителя). Стоячую волну с особенностью можно создать, помещая пульсирующую сферу в центр сферического сосуда с звуконепроницаемой стенкой: расходящаяся волна, отражающаяся от стенки, возвращается к центру в виде сходящейся волны. Разумеется, такая волна существует только вне пульсирующей сферы. Наконец, стоячая волна без особенности создается в среде, целиком заполняющей сферический сосуд, при пульсациях стенок сосуда. В этом случае, в отличие от остальных, в центре никаких посторонних тел располагать не надо.

Последние три типа волн можно получить как частные случаи отражения сходящейся сферической волны от сферы, помещенной в центре волны, подбирая соответственное значение входного импеданса поверхности сферы Z. Введем коэффициент отражения сходящейся волны при ее отражении от центральной сферы, записывая расходящуюся сферическую волну, возникающую при отражении, в виде

где - коэффициент отражения, зависящий от входного импеданса сферы радиуса а. Сходящаяся бегущая волна соответствует коэффициенту отражения стоячая волна с особенностью — коэффициенту отражения и стоячая волна без особенности коэффициенту отражения Найдем соотношение, связывающее коэффициент отражения, радиус сферы и ее входной импеданс. Суммарное поле падающей и отраженной волн на поверхности сферы дается формулами

Из граничного условия (для входного импеданса нормальная скорость считается положительной в направлении внутрь сферы )получим , откуда, вводя обозначение для относительного входного импеданса, имеем

Проанализируем эти формулы для наиболее интересных случаев.

Для получения чисто сходящейся волны импеданс должен быть равен, согласно (85.5)

Если радиус отражающей сферы велик , то , как и следовало ожидать, поскольку при большом радиусе сферическая волна похожа на плоскую, для которой полное поглощение достигается как раз при (см. § 43). При малом радиусе сферы получим

Таким образом, для того чтобы малая сфера целиком поглотила падающую на нее сходящуюся волну, ее входной импеданс должен быть мал по модулю и должен быть комплексным, с мнимой частью упругого типа; при этом активная часть импеданса должна быть мала по сравнению с его реактивной частью. Любопытно, что, в противоположность случаю плоской волны, при чисто вещественном импедансе полное поглощение невозможно. Легко рассчитать, что при чисто вещественном импедансе минимальное значение коэффициента отражения сходящейся сферической волны получается при

и равно по модулю

Эта величина никогда в нуль не обращается, а при малом близка к единице: малая сфера с любым чисто активным импедансом отражает почти все.

Стоячую волну без особенностей можно получить, как ясно из физических соображений, помещая в качестве центрального тела сферу из той же среды, что и остальное пространство. Поскольку коэффициент отражения при этом равен то, согласно (85.5), импеданс такой сферы есть

Импеданс чисто реактивный, а характер реакции (упругая или массовая реакция) зависит от радиуса сферы. При целое) импеданс обращается в нуль, т. е. сфера ведет себя как вакуумная полость. При малых значениях импеданс приближенно равен и, следовательно, имеет упругий характер. Сравнивая эту величину с (85.7), мы видим, что при малых значениях импеданс, устраняющий особенность, оказывается по модулю весьма большим по сравнению с импедансом, обеспечивающим полное поглощение падающей волны.

Наконец, волна стоячего типа с особенностью, соответствующая создается при чйсто мнимом импедансе центральной сферы, равном

что дает при малых значение отличающееся от импеданса, соответствующего полному поглощению, только отсутствием активной части.

Рассмотрим теперь обратную задачу: дан импеданс малой сферической поверхности. Требуется найти результирующее поле при падении на сферу сходящейся сферической волны. Из (85.6) видно, как при так и при коэффициент отражения будет близок к —1, так что результирующее поле будет близко к полю без особенностей вида Значит, поле будет практически одинаково при помещении в центр сходящейся волны малой сферы с очень большим импедансом (например, абсолютно жесткой сферы) и с очень малым импедансом (например, вакуумнрй полости). Только при относительном импедансе с реактивной частью упругого типа, близкой к коэффициент отражения будет близок к и результирующее поле будет близко к полю с особенностью вида или

Здесь есть аналогия с поведением резонатора, на который действует возмущающая сила данной частоты. Поле без особенностей

аналогично поведению резонатора при очень большой жесткости пружины или при очень малой ее жесткости: в обоих случаях движение осциллятора остается малым, что соответствует малым значениям скорости в поле без особенностей вблизи центра. «Резонанс» в данном случае соответствует при этом скорость вблизи центра делается большой. Это — не только внешняя аналогия, и картине резонанса можно придать реальный смысл, помещая в центрволны упругую сферу.

1
Оглавление
email@scask.ru