§ 85. Гармонические сферически-симметричные волны

Гармонические бегущие сферически-симметричные волны с единичной амплитудой давления на единичном расстоянии от центра имеют следующий вид:

где верхний знак отвечает расходящейся, а нижний — сходящейся волне. Соответственные значения скорости частиц равны

В выражении для скорости неволновой член, соответствующий — 1 в биноме, сдвинут на 90° по фазе от волнового, синфазного с давлением члена: До расстояния неволновой член по модулю преобладает; на больших расстояниях преобладает волновой член.

Стоячие сферические гармонические волны

можно рассматривать как сумму или разность двух бегущих.

Соответственные значения скорости частиц равны

Любую гармоническую сферически-симметричную волну можно представить в виде суперпозиции двух бегущих или двух стоячих или одной бегущей и одной стоячей волны, так же, как это делается и для плоских одномерных волн.

Обе бегущие волны и первая из стоячих имеют особенность в центре волны: бесконечную амплитуду давления. Поэтому такие волны имеют физический смысл только в том случае, если центр волны занят каким-либо телом. Вторая стоячая волна особенности не имеет и может существовать во всей среде, включая и центр волны; это частный случай волны вида (83.4). При стремлении радиуса к нулю скорость частиц в волнах, имеющих особенность, стремитсяк бесконечности и испытывает разрыв при прохождении через центр волны. В волне, особенности не имеющей, скорость частиц непрерывна и в центре волны обращается в нуль.

Каждая из указанных волн соответствует определенной акустической ситуации. Например, расходящуюся волну можно создать, помещая пульсирующую сферу в неограниченную среду. Сходящуюся волну можно создать в жидкости, заполняющей сферический сосуд, стенки которого совершают пульсационные колебания, помещая в центре поглотитель, целиком поглощающий сходящуюся волну, так что расходящаяся волна не возникает (ниже найдем, каковы должны быть свойства такого поглотителя). Стоячую волну с особенностью можно создать, помещая пульсирующую сферу в центр сферического сосуда с звуконепроницаемой стенкой: расходящаяся волна, отражающаяся от стенки, возвращается к центру в виде сходящейся волны. Разумеется, такая волна существует только вне пульсирующей сферы. Наконец, стоячая волна без особенности создается в среде, целиком заполняющей сферический сосуд, при пульсациях стенок сосуда. В этом случае, в отличие от остальных, в центре никаких посторонних тел располагать не надо.

Последние три типа волн можно получить как частные случаи отражения сходящейся сферической волны от сферы, помещенной в центре волны, подбирая соответственное значение входного импеданса поверхности сферы Z. Введем коэффициент отражения сходящейся волны при ее отражении от центральной сферы, записывая расходящуюся сферическую волну, возникающую при отражении, в виде

где - коэффициент отражения, зависящий от входного импеданса сферы радиуса а. Сходящаяся бегущая волна соответствует коэффициенту отражения стоячая волна с особенностью — коэффициенту отражения и стоячая волна без особенности коэффициенту отражения Найдем соотношение, связывающее коэффициент отражения, радиус сферы и ее входной импеданс. Суммарное поле падающей и отраженной волн на поверхности сферы дается формулами

Из граничного условия (для входного импеданса нормальная скорость считается положительной в направлении внутрь сферы )получим , откуда, вводя обозначение для относительного входного импеданса, имеем

Проанализируем эти формулы для наиболее интересных случаев.

Для получения чисто сходящейся волны импеданс должен быть равен, согласно (85.5)

Если радиус отражающей сферы велик , то , как и следовало ожидать, поскольку при большом радиусе сферическая волна похожа на плоскую, для которой полное поглощение достигается как раз при (см. § 43). При малом радиусе сферы получим

Таким образом, для того чтобы малая сфера целиком поглотила падающую на нее сходящуюся волну, ее входной импеданс должен быть мал по модулю и должен быть комплексным, с мнимой частью упругого типа; при этом активная часть импеданса должна быть мала по сравнению с его реактивной частью. Любопытно, что, в противоположность случаю плоской волны, при чисто вещественном импедансе полное поглощение невозможно. Легко рассчитать, что при чисто вещественном импедансе минимальное значение коэффициента отражения сходящейся сферической волны получается при

и равно по модулю

Эта величина никогда в нуль не обращается, а при малом близка к единице: малая сфера с любым чисто активным импедансом отражает почти все.

Стоячую волну без особенностей можно получить, как ясно из физических соображений, помещая в качестве центрального тела сферу из той же среды, что и остальное пространство. Поскольку коэффициент отражения при этом равен то, согласно (85.5), импеданс такой сферы есть

Импеданс чисто реактивный, а характер реакции (упругая или массовая реакция) зависит от радиуса сферы. При целое) импеданс обращается в нуль, т. е. сфера ведет себя как вакуумная полость. При малых значениях импеданс приближенно равен и, следовательно, имеет упругий характер. Сравнивая эту величину с (85.7), мы видим, что при малых значениях импеданс, устраняющий особенность, оказывается по модулю весьма большим по сравнению с импедансом, обеспечивающим полное поглощение падающей волны.

Наконец, волна стоячего типа с особенностью, соответствующая создается при чйсто мнимом импедансе центральной сферы, равном

что дает при малых значение отличающееся от импеданса, соответствующего полному поглощению, только отсутствием активной части.

Рассмотрим теперь обратную задачу: дан импеданс малой сферической поверхности. Требуется найти результирующее поле при падении на сферу сходящейся сферической волны. Из (85.6) видно, как при так и при коэффициент отражения будет близок к —1, так что результирующее поле будет близко к полю без особенностей вида Значит, поле будет практически одинаково при помещении в центр сходящейся волны малой сферы с очень большим импедансом (например, абсолютно жесткой сферы) и с очень малым импедансом (например, вакуумнрй полости). Только при относительном импедансе с реактивной частью упругого типа, близкой к коэффициент отражения будет близок к и результирующее поле будет близко к полю с особенностью вида или

Здесь есть аналогия с поведением резонатора, на который действует возмущающая сила данной частоты. Поле без особенностей

аналогично поведению резонатора при очень большой жесткости пружины или при очень малой ее жесткости: в обоих случаях движение осциллятора остается малым, что соответствует малым значениям скорости в поле без особенностей вблизи центра. «Резонанс» в данном случае соответствует при этом скорость вблизи центра делается большой. Это — не только внешняя аналогия, и картине резонанса можно придать реальный смысл, помещая в центрволны упругую сферу.