§ 10. Замечание относительно закона Гука
Из сказанного ясно, что кинематическая аппроксимация тем точнее, чем меньше деформация (сжатие) в волне. На первый взгляд представляется, что так же должно всегда обстоять дело и с динамической аппроксимацией и что для любой среды и для деформации любого вида (пока она мала) сила должна быть пропорциональна величине, характеризующей деформацию. Можно попытаться обосновать это утверждение тем, что при малом изменении формы тела возникающую силу всегда можно разложить в степенной ряд по величине, характеризующей деформацию, и пренебречь в разложении всеми членами, кроме первого.
Однако утверждение, что упругая сила всегда пропорциональна вызывающему ее смещению, не всегда верно. Например, для растянутой упругой (т. е. растяжимой) нити, закрепленной в двух точках без провисания и оттягиваемой действием силы, приложенной к ее середине, можно принять за величину, характеризующую деформацию, поперечное смещение нити в точке действия силы. Легко видеть, что для малых значений поперечного смещения сила пропорциональна кубу смещения. В этом случае линеаризация неприменима ни при каких амплитудах. Ясно, что линеаризация возможна только тогда, когда разложение в степенной ряд
начинается с члена, содержащего первую степень величины, характеризующей деформацию.
Встречаются, как исключение, и неограниченные среды, в которых нельзя произвести линеаризацию соотношения деформация — сила даже для малых деформаций, например сыпучие тела, порошки. Так, при сжатии песка или порошка упругие силы возникают, но при растяжении песчинки просто отходят друг от друга и сила упругости не возникает. Линейность соотношения деформация — сила получится, если песок уже сжат предварительно, как, например, в песчаном грунте на большой глубине, где песчинки прижаты друг к другу весом вышележащих слоев; сжатие будет увеличивать, а разрежение — уменьшать уже имеющуюся упругую силу взаимодействия между песчинками и дополнительная сила будет линейно зависеть от деформации.
Опыт показывает, что в обычных однородных связных средах Закон Гука справедлив для малых деформаций и без всякого предварительного сжатия. Среды, в которых выполняется закон Гука для малых деформаций, будем называть линейными.
