§ 64. Труба, ограниченная крышками с конечной проводимостью

Дискретный набор обертонов получается и для любых неидеальных звуконепроницаемых (т. е. полностью отражающих) крышек трубы, но, вообще, обертоны в этом случае негармонические. Охарактеризуем крышки трубы входными проводимостями. Для

звуконепроницаемых крышек проводимости должны быть чисто мнимыми; вообще говоря, они могут зависеть от частоты. Обозначим проводимость первой крышки через и возьмем на этой крышке начало координат. Проводимость второй крышки, имеющей координату обозначим через Граничные условия для давления и скорости каждого из собственных колебаний трубы имеют вид

Знак минус в первой формуле указывает на то, что направление «входа» в первую крышку противоположно положительному направлению оси х. Искомые решения можно записать в виде . Тогда

Подставляя в граничные условия, получим

Эти уравнения можно записать по другому:

Согласно сказанному выше аргументы в правых частях равенств вещественны. Складывая эти уравнения, найдем

Это есть частотное уравнение колебаний в трубе с заданными проводимостями крышек.

В силу многозначности обратных тригонометрических функций удобно сделать приведение углов к первой четверти. Тогда частотное уравнение можно записать в виде

где оба арктангенса по модулю меньше а I принимает значения 0, 1, 2, ... Каждому значению I соответствует обертон трубы. Частотное уравнение можно рассматривать и как уравнение относительно частоты собственных колебаний, и как уравнение относительно величины которая пропорциональна этой частоте. Величина есть число длин волн, укладывающихся на длине трубы.

К уравнению (64.1) можно прийти и по-другому исходя из представления собственных колебаний в трубе в виде суперпозиции двух плоских волн, бегущих в противоположных направлениях и переходящих друг в друга при отражениях от крышек. Получим

частотное уравнение, исходя непосредственно из коэффициентов отражения крышек. Пусть коэффициенты отражения крышек при падении на них гармоиическойволныравныди/соответственно. Эти коэффициенты могут быть функциями частоты. Пусть в трубе, закрытой такими крышками, происходят собственные колебания частоты (пока неизвестной) со. Поле в трубе можно написать в виде суперпозиции двух волн:

взаимно переходящих друг в друга при отражении от крышек. У крышки падающая волна есть а отраженная волна есть Следовательно, у этого конца трубы должно выполняться равенство На втором конце трубы падает волна и отражается волна Следовательно, должно выполняться равенство Исключая А из полученных равенств, найдем искомое частотное уравнение

В этом уравнении частота входит как в так и в коэффициенты отражения. От этого уравнения легко вернуться к частотному уравнению, содержащему проводимости. В самом деле, согласно (45.2) коэффициенты отражения выражаются через проводимости крышек формулами

или

Подставляя эти выражения в (64.2) и считая (полное отражение), найдем

Отсюда видно, что показатель экспоненты должен быть целым кратным

Следовательно,

что совпадает с формулой (64.1), полученной другим способом.

Рассмотрим, как меняются собственные частоты трубы при замене идеальных границ крышками с конечной проводимостью. Так как проводимости обеих крышек входят в частотное уравнение одинаково, то достаточно выяснить характер изменений при замене только одной из них. Поэтому будем считать, что одна граница (например, левая) абсолютно жесткая, т. е.

и допустим, что вторая крышка имеет проводимость Тогда частотное уравнение (64.1) примет вид

Для реактивных крышек величина вещественная, положительная для крышек упругого типа и отрицательная для крышек массового типа. Значит, крышка упругого типа понижает, а крышка массового типа повышает собственные частоты трубы. Относительное изменение частоты составляет для колебания номера I

где — собственная частота данного колебания при второй жесткой крышке, а значение проводимости (вообще зависящей от частоты) должно быть взято при уже измененной собственной частоте а не при частоте

На рис. 64.1 даны распределения скорости измененного собственного колебания трубы с левой жесткой крышкой и правой упругой и массовой. В трубах с неидеальными крышками узел скорости смещен от крышки: длина волны изменилась соответственно изменению собственной частоты колебания. Отрезок от узла до узла скорости равен длине трубы, снабженной обеими жесткими крышками, имеющей ту же собственную частоту, что и данная труба с неидеальной крышкой. Эта эквивалентная длина больше фактической длины трубы при упругой крышке и меньше при массовой. Относительная разность фактической и эквивалентной длин равна

Пусть крышка осуществлена в виде безмассового поршня, удерживаемого пружинкой с коэффициентом упругости (на единицу площади трубы), равным х, Тогда и уравнение (64.3) примет вид

На рис. 64.2 показано, как решать графически это трансцендентное уравнение для Значения для последовательных собственных колебаний найдутся как абсциссы точек пересечения последовательных ветвей тангенсоиды с прямой, угловой коэффициент которой равен взятому с обратным знаком отношению двух коэффициентов упругости: коэффициента упругости -столба среды единичного сечения длины и удельного коэффициента упругости х крышки.

Из графика видно, что обертоны не гармоничны: нарушение гармоничности наибольшее для первых номеров колебаний; при увеличении номера колебания последовательность частот стремится

к последовательности нечетных целых чисел, соответствующих трубе с открытым вторым концом. Это понятно из того, что проводимость упругой крышки стремится к бесконечности при стремлении частоты к бесконечности.

Если крышка осуществлена в виде массивного поршня с поверхностной плотностью скользящего в трубе без трения, то проводимость крышки равна , и уравнение частот можно написать в виде

позволяющем удобно решать его графически (рис. 64.3): значения для собственных колебаний трубы найдутся как абсциссы точек пересечения ветвей котангенсоиды с прямой, угловой коэффициент которой равен отношению массы поршня к массе всей среды в трубе.

Рис. 64.1. и -эквивалентные длины труб с обеими жесткими крышками, имеющих те же частоты первого собственного колебания, что и труба длины с одной жесткой и второй массовой или упругой крышкой.

Рис. 64.2. Нахождение собственных частот в трубе с одной жесткой и второй упругой крышкой.

Интересен случай крышки, очень массивной по сравнению с массой среды в трубе: Тогда, как видно на графике, первое значение для (пересечение с пунктирной линией) может быть очень мало по сравнению с единицей, а значит, частота этого колебания низкая, так что на длине трубы укладывается малая доля длины волны. Остальные же колебания почти не изменят своих частот по сравнению со случаем абсолютно жесткой второй крышки, и практически можно считать, что они по-прежнему будут образовывать гармонический ряд обертонов. В подобном низкочастотном колебании среда в трубе находится в квазистатическом режиме и действует как пружина.

Перейдем к общему случаю, считая, что задана частотная зависимость (или зависимость от проводимостей обеих крышек, и дадим графический метод нахождения собственных частот трубы на основе уравнения (64.1). Начертим график зависимости величины от выбирая значения арктангенсов в пределах и нанесем на него

семейство прямых Абсциссы точек пересечения графика с прямыми семейства дадут все искомые значения для (рис. 64.4). Каждая из прямых семейства даст по крайней мере одно решение, кроме, быть может, прямой с

Рис. 64.3. Нахождение собственных частот в трубе с одной жесткой и второй массовой крышкой. При большой массе крышки первое колебание получается низкочастотным (длина соответственной волны много больше длины трубы) и выпадает из ряда остальных собственных частот, близких к гармонической последовательности.

Для обеих абсолютно жестких крышек график вырождается в прямую, совпадающую с осью абсцисс. Для обоих свободных концов трубы график вырождается в прямую или Для одного абсолютно жесткого и другого открытого конца трубы график совпадает с прямой или

При малых, но не равных нулю проводимостях возможно появление нового типа колебания, отсутствующего при жестких крышках.

В самом деле, если обе крышки массового типа или одна массового, а другая упругого, но по модулю проводимость последней меньше модуля проводимости массовой крышки, то, как видно из (64.1), график начнется выше оси абсцисс (линия а на рис. 64.4) и появится решение, отсутствовавшее при нулевой проводимости крышек: низкочастотное колебание, определяемое пересечением графика с прямой, соответствующей

Рис. 64.4. График для нахождения собственных частот в трубе с обеими неидеальными крышками. Линии а и б - графики левой части уравнения (64.1) в случае, когда имеется низкочастотное собственное колебание.

Частоты же остальных колебаний будут близки к частотам в трубе с абсолютно жесткими крышками, т. е. практически будут по-прежнему образовывать гармонический ряд. Частота нового колебания в этот ряд не войдет и может быть много меньше основного тона гармонического ряда. Для случая и второй крышки массового типа мы находили уже это колебание на графике 64.3 как колебание наименьшей частоты.

Если обе крышки с малой проводимостью упругого типа, либо модуль проводимости крышки упругого типа больше модуля проводимости крышки массового типа, то дополнительного низкочастотного колебания нет и собственные колебания трубы укладываются (приближенно) в гармонический ряд.

Аналогично вышесказанному, если проводимости крышек очень велики, но не бесконечны, то также возможно появление дополнительного низкочастотного колебания, отсутствующего при абсолютно мягких крышках: колебание появится, если обе крышки упругие либо если они разных типов, но проводимость массовой крышки по модулю меньше проводимости крышки упругого типа. В этих случаях график проходит при малых вблизи прямой (рис. 64.4, линия б) и дополнительное колебание соответствует пересечению с прямой, отвечающей При другой комбинации проводимостей крышек дополнительное колебание не появляется. В отличие от остальных, при дополнительном колебании подлине трубы укладывается только малая доля длины волны, так что распределение давлений и скоростей частиц в этом колебании оказывается совсем другим, чем для остальных собственных колебаний трубы: движение среды происходит квазистатически.

При малых проводимостях столб среды в трубе играл роль пружины: кинетическая энергия его мала по сравнению с потенциальной и его можно рассматривать как пружину с коэффициентом упругости (рассчитанным на единицу площади поперечного сечения трубы), равным При больших проводимостях, наоборот, столб среды практически не сжат — потенциальной энергией его можно пренебречь по сравнению с кинетической и он движется как твердое тело. В первом случае трубу с крышками можно рассматривать как осциллятор со столбом среды в качестве элемента упругости, а во втором случае — тоже как осциллятор, но столб среды ведет себя в этом случае как элемент массы.

Колебания «нулевого номера» интересны тем, что длина волны соответственной частоты в неограниченной среде много больше размеров самой трубы. Для всех остальных собственных колебаний самая низкая частота дает длину волны в неограниченной среде порядка двойного или четверного размера трубы. Вообще, за исключением особых случаев, вроде рассмотренных выше, всегда можно считать, что длина волны наименьшей собственной частоты данного объема (не обязательно трубы, а, например, помещения) равна по порядку наибольшему линейному размеру объема.