§ 58. Проводимость и импеданс при синусоидальном распределении давления по плоскости. Отражение от поверхности с заданной проводимостью. Учет, неидеальности среды

Отражение под углом произвольной плоской волны от линейного однородного плоского препятствия, вообще неправильное, как и при нормальном падении. Поэтому рассмотрим вначале наклонное падение гармонических волн, которые всегда отражаются правильно; отражение же негармонических волн можно будет находить методом Фурье как сумму отражений составляющих спектральных компонент.

Пусть на линейное однородное препятствие, совмещенное с плоскостью падает волна

Отраженную волну можно записать в виде

Суммарные давление и нормальная компонента скорости частиц на границе равны соответственно

Отношение нормальной скорости границы препятствия к давлению на границе

не зависит/ни от времени, ни от координат точки на препятствии. Ясно также, что оно не зависит от вида среды, из которой падает

волна, и вообще от того, имеется ли среда. Действительно, величина показывает только, какую скорость получают точки препятствия при распределении вдоль его поверхности бегущей синусоидальной волны давлений. Нормальная скорость препятствия также оказывается распределенной вдоль поверхности в виде бегущей синусоидальной волны с тем же волновым числом Введенная величина может зависеть только от частоты и от волнового числа бегущей по поверхности волны давлений. Будем называть входной проводимостью препятствия, обобщая тем самым введенное в § 45 понятие проводимости при синфазном возбуждении поверхности (нормальное падение волны) на случай синусоидального возбуждения (падение волны под произвольным углом скольжения). Так как для данной среды при данной частоте волновое число следа на поверхности однозначно связано с углом скольжения падающей волны, то говорят, что проводимость зависит, помимо частоты, еще и от угла скольжения падающей волны: Из (58.1) найдем

Коэффициент отражения зависит от угла скольжения падающей волны не только через явно входящий синус, но и неявно, через посредство

Как и в случае нормального падения, будем характеризовать поверхность также и (входным) импедансом величиной, обратной проводимости:

Входной импеданс также зависит от частоты и угла скольжения падающей волны. Из (58.2) следует

В дальнейшем будем на равных правах пользоваться как проводимостью, так и импедансом, в зависимости от удобства.

Как именно находить проводимость или импеданс данного препятствия — отдельный вопрос, который будем решать только для некоторых частных случаев. Но если или для данного препятствия известны, можно найти отражение от этого препятствия волны, падающей из любой среды, граничащей с препятствием.

Приведем несколько примеров, где проводимость препятствия по-разному зависит от частоты и от угла скольжения падающей волны.

Входная проводимость границы раздела двух сред зависит от угла скольжения падающей волны, но не зависит от частоты:

В качестве примера препятствия с импедансом, зависящим от частоты, рассмотрим очень тонкий по сравнению с длиной волны жидкий слой, граничащий второй стороной с вакуумом. При наклонном падении давление будет приходить на различные участки слоя в разных фазах. В пределах участков, малых по сравнению с длиной волны (но больших по сравнению с толщиной слоя), можно считать, что на весь участок действует синфазно равномерно распределенная сила, как если бы на этот участок гармоническая волна падала нормально. Следовательно, и ускорение данного участка будет, как и при нормальном падении, равно отношению Давления к поверхностной плотности слоя, Поэтому, как и для нормального падения, входной импеданс такого слоя будет равен — где поверхностная плотность слоя. Колебания частиц будут происходить в разных фазах вдоль слоя, соответственно фазе следа падающей волны на слое. Мы видим, что входной импеданс зависит в этом случае от частоты, но не от угла скольжения. Независимость от угла скольжения связана с тем, что каждый малый участок слоя движется независимо от других. Если слой не жидкий, а, например, тонкая упругая пластина, то это уже не будет верно: ускорение какого-либо элемента определится не только давлением прилегающего участка среды, но и воздействием соседних участков самой пластины, в данном случае действием перерезывающих сил, возникающих при изгибе. Поэтому входной импеданс твердой пластинки зависит и от частоты, и от угла скольжения падающей волны.

Если, как в примере с жидким слоем, соседние участки препятствия не взаимодействуют, то входной импеданс (или проводимость) не зависит от угла скольжения падающей плоской волны, и то обстоятельство, что фаза движения меняется вдоль границы, роли не играет. В этих случаях для каждой данной частоты будет только одно-единственное значение входного импеданса, от угла скольжения не зависящее. Входной импеданс, не зависящий от угла, называют нормальным импедансом (нормальная проводимость). Можно показать, что для препятствия с нормальным импедансом отношение давления к нормальной скорости на его поверхности вообще не зависит от формы поля и остается тем же, например, при падении сферической волны.

Иногда входной импеданс слабо зависит от угла скольжения и этой зависимостью можно пренебречь. Таков, например, входной импеданс среды, скорость звука в которой очень мала по сравнению со скоростью звука в среде, откуда идет волна. В самом деле, тогда угол скольжения прошедшей волны остается весьма близким к 90° при любом угле скольжения падающей волны и, согласно (58.3), входной импеданс почти не зависит от 0, ввиду большой величины прошедшая волна уходит во вторую среду при любом угле падения почти под одним и тем же углом. Если коэффициент преломления любой, но каким-либо способом удалось ограничить движение частиц во второй среде

каким-либо фиксированным направлением, не зависящим от угла скольжения падающей волны, то и в этом случае импеданс второй среды нормальный. Так будет, например, если поместить во вторую среду (имеющую произвольную скорость звука) «сотовую конструкцию» - гребенку параллельных абсолютно жестких перегородок, делящих среду на независимые слои (или трубочки), узкие по сравнению с длиной волны в среде. Тем самым будет принудительно задан «угол преломления» — как угол а между нормалью к границе раздела и направлением трубочек. Движение в каждой трубочке будет зависеть только от давления на ее конце. Примерно так ведут себя пористые жесткие штукатурки, встречающиеся в архитектурной акустике: воздух в порах имеет принудительное направление движения, не зависящее от угла падения волны в целом. Легко показать, что для сотовой конструкции с наклоном трубочек к нормали а и коэффициентом скважности 8 (отношение площади сечений трубочек к общей поверхности препятствия) входной импеданс равен .

Итак, для нахождения отражения гармонической плоской волны от плоского препятствия достаточно знать его проводимость или входной импеданс. Если падает плоская волна произвольной формы, то можно поступить так же, как и при нахождении отражения при падении на границу двух сред под закритическим углом (см. § 56). Вообще проводимость зависит от частоты: так что каждая компонента разложения Фурье отразится со своим коэффициентом отражения. Кроме того, для отрицательных частот значения входной проводимости надо брать сопряженными соответственным значениям для положительных частот. Так, если падающая волна может быть представлена в виде

то отраженную волну можно написать в виде интеграла

При наклонном падении волны, так же как и при нормальном, идеальные границы можно рассматривать как предельные случаи при стремлении проводимости или импеданса границы соответственно к нулю или к бесконечности. Абсолютно мягкая граница соответствует бесконечной проводимости и нулевому импедансу, а абсолютно жесткая — нулевой проводимости и бесконечному дмпедансу. Можно рассматривать эти случаи и как

границы со средой, характеристики которой стремятся к некоторым предельным значениям. Так, абсолютно мягкая граница получится, если стремить к нулю плотность второй среды либо скорость звука в ней (устремляя сжимаемость к бесконечности), что соответствует предельным переходам либо Для получения абсолютно жесткой границы можно стремить плотность второй среды к бесконечности: Стремление же скорости звука во второй среде к бесконечности не приведет при наклонном падении (в отличие от нормального падения) к имитации абсолютно жесткой стенки, потому что при любой угол скольжения, кроме 90°, закритический и отражение неправильное (а во второй среде возникают неоднородные волны).

Обратим внимание на любопытный парадокс, связанный с падением волны под углом скольжения 0° («скользящее падение»). При абсолютно жесткой стенке коэффициент отражения от нее равен при любом 0, даже при . Но, с другой стороны, при любом конечном значении проводимости границы коэффициент отражения равен —1 при и остается равным нулю даже при стремлении проводимости границы к нулю. В первом случае поле в первой среде равно удвоенному падающему полю; во втором случае оно равно нулю.

Разрешение парадокса — в том, что в двух случаях рассматривают разный порядок предельных переходов: стремление угла скольжения к 0° и стремление проводимости границы к нулю. Если раньше перейти к пределу по проводимости, оставаясь при конечном угле скольжения, и лишь потом стремить угол к нулю, то получим первый случай. Если перейти к пределу а затем стремить проводимость к нулю, получим второй случай. Если бы мы стремили к нулю одновременно и угол скольжения, и проводимость границы, то могли бы получить любое значение коэффициента отражения между в зависимости от того, к чему стремилась бы величина

Но интереснее всего то, что для реальных сред парадокс делается беспредметным: акустически абсолютно жесткая стенка не осуществима, как мы сейчас покажем, даже при помощи действительно абсолютно неподвижной границы среды. Мы увидим, что при коэффициент отражения плоской волны от такой границы в реальной среде всегда стремится к —1, а не к

Дело в том, что в реальных средах, в отличие от идеальной жидкости, теплопроводность и вязкость — конечные величины. Поэтому стенку нельзя считать адиабатической границей для среды: граничным условием явится равенство температур среды и стенки, что требует, в отличие от идеальной среды, выравнивания температур между средой и стенкой. Конечная же вязкость приводит к прилипанию частиц к границе; в результате на границе должна обращаться в нуль не только нормальная, но, в отличие от идеальной среды, и касательная компонента скорости частиц. Мы покажем, что такое действие теплопроводности и вязкости

эквивалентно малой, но конечной проводимости границы в идеальной среде, а это приводит к коэффициенту отражения —1 при достаточно малых углах скольжения.

Выясним в отдельности действие либо только теплопроводности, либо только вязкости. Начнем с действия теплопроводности. Для простоты расчета примем, что температура стенки не меняется (бесконечна либо плотность, либо теплопроводность, либо теплоемкость стенки; при отражении звука в газе от твердой стенки или от поверхности жидкости это условие будет выполнено с высокой степенью точности).

Если бы стенка была адиабатична, то изменения температуры среды вблизи нее равнялись бы, согласно (14.4),

В силу теплопроводности стенки изменение температуры на границе должно упасть до нуля. Действие стенки в этом отношении равносильно периодическому изменению температуры на границе с той же амплитудой, что и но противоположного знака. Такое изменение вызовет в среде температурную волну (см. § 19), быстро спадающую при удалении от стенки, и оба изменения температуры — адиабатическое изменение вследствие сжатия среды и температурная волна, вызванная теплопроводностью стенки, — в сумме удовлетворят граничному условию постоянства температуры на стенке. Так как длина температурной волны очень мала по сравнению с длиной звуковой волны, то можно считать, что распределение температур «локально-равномерно» на участках, больших по сравнению с длиной температурной волны, но еще малых по сравнению с длиной звуковой волны. Тогда температурную волну можно записать, в согласии с (25.8), в виде

Распределение температур в реальной среде вблизи теплопроводящей стенки отличается на величину Т от распределения при адиабатической границе. В то же время выравниванием температур на расстоянии порядка звуковой волны или изменением давления и адиабатического нагревания при удалении от стенки на расстояние многих глубин прогревания можно пренебрегать.

Но изменение температуры соответствует изменению сжатия среды при том же давлении. В соответствии с уравнением состояния (14.3) добавочное сжатие равно

Интегрируя по 2 в пределах от до 0 (вследствие быстрого спадания температурной волны фактически интегрирование выполняется в тонком пристеночном слое в несколько глубин

прогревания), получим суммарное изменение объема пристеночного слоя в расчете на единицу площади границы:

Это изменение сжатия пристеночного слоя при теплообмене эквивалентно для падающей волны смещению границы по нормали на ту же величину и. Значит, теплообмен у границы эквивалентен движению адиабатической границы с нормальной скоростью Подставляя Рад получим из (58.4)

Отсюда заключаем, что в реальной среде теплообмен акустически эквивалентен замене неподвижной стенки в идеальной нетеплопроводной среде границей с проводимостью

Согласно (58.2) коэффициент отражения равен в этом случае

Поскольку, как мы видели в § 19, отношение всегда мало по сравнению с единицей, при больших углах скольжения падающей волны коэффициент отражения близок к стенка ведет себя почти в точности как акустически абсолютно жесткая. Но при коэффициент отражения стремится к —1, несмотря на то, что стенка абсолютно неподвижна. Переход совершается в наиболее интересной области углов скольжения падающей волны, близких к величине . В этой области, полагая приближенно , найдем, что минимум модуля коэффициента отражения достигается при характерном угле скольжения

При этом угле и минимальный модуль равен 0,415. Таким образом, получающийся коэффициент отражения по энергии равен всего 0,172. Следовательно, вблизи стенки поглощается 82,8% потока мощности волны, бегущего в направлении к границе. Это, впрочем, не значит, что поглощение энергии, вызванное теплопередачей, больше при этом угле, чем при более крутых углах падения волны: эта энергия мало зависит от угла, пока угол больше найденного критического угла, но подводимая

к стенке энергия уменьшается при уменьшении . При углах, меньших давление у стенки падает, так как коэффициент отражения приближается к —1 и адиабатическое нагревание у стенки и потери энергии быстро убывают.

Мы видим, что минимальное значение коэффициента отражения не зависит ни от частоты, ни от термодинамических свойств среды; но критический угол от этих характеристик зависит. Действительно, из (58.7) следует (см. § 19), что этот угол равен

Аналогичным способом можно найти и действие вязкости. При отсутствии прилипания касательная скорость среды на границе равнялась бы

Прилипание остановит среду у границы. Действие стенки в этом отношении равносильно сообщению среде на самой границе добавочной касательной скорости той же амплитуды, но противоположного знака. Это создаст в среде вблизи границы сдвиговую волну вида

Это дает дополнительный по сравнению с отсутствием прилипания поток среды через поверхность, перпендикулярную к границе, равный

Выделим мысленно в среде у поверхности границы прямой цилиндр, опирающийся на единичную площадку. Через боковую стенку такого цилиндра вытекает поток, равный

Это изменение количества среды в пристеночном объеме при наличии вязкости равносильно, как легко видеть, смещению по нормали границы в отсутствие вязкости, происходящему с этой же скоростью Значит, прилипание вязкой границы к стенке эквивалентно движению границы по нормали со скоростью в среде без вязкости, т. е. наличию у границы проводимости

Сравнивая (58.8) с (58.5), заключаем, что вязкость в среде и прилипание среды к границе также приводят к появлению эффективной проводимости, как и теплопроводность вблизи теплопроводящей стенки, хотя, конечно, физические картины влияния вязкости и влияния теплопроводности различны. В частности, при скользящих углах падения волны коэффициент отражения стремится к —1; при характерном угле, определяемом (приближенно) формулой

модуль коэффициента отражения минимален и равен, как и в случае теплопроводности, 0,415. При коэффициент отражения стремится к —1.