Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 58. Проводимость и импеданс при синусоидальном распределении давления по плоскости. Отражение от поверхности с заданной проводимостью. Учет, неидеальности средыОтражение под углом произвольной плоской волны от линейного однородного плоского препятствия, вообще неправильное, как и при нормальном падении. Поэтому рассмотрим вначале наклонное падение гармонических волн, которые всегда отражаются правильно; отражение же негармонических волн можно будет находить методом Фурье как сумму отражений составляющих спектральных компонент. Пусть на линейное однородное препятствие, совмещенное
Отраженную волну можно записать в виде
Суммарные давление и нормальная компонента скорости частиц на границе равны соответственно
Отношение нормальной скорости границы препятствия к давлению на границе
не зависит/ни от времени, ни от координат точки на препятствии. Ясно также, что оно не зависит от вида среды, из которой падает волна, и вообще от того, имеется ли среда. Действительно, величина
Коэффициент отражения зависит от угла скольжения падающей волны не только через явно входящий синус, но и неявно, через посредство Как и в случае нормального падения, будем характеризовать поверхность также и (входным) импедансом
Входной импеданс также зависит от частоты и угла скольжения падающей волны. Из (58.2) следует
В дальнейшем будем на равных правах пользоваться как проводимостью, так и импедансом, в зависимости от удобства. Как именно находить проводимость или импеданс данного препятствия — отдельный вопрос, который будем решать только для некоторых частных случаев. Но если Приведем несколько примеров, где проводимость препятствия по-разному зависит от частоты и от угла скольжения падающей волны. Входная проводимость границы раздела двух сред зависит от угла скольжения падающей волны, но не зависит от частоты:
В качестве примера препятствия с импедансом, зависящим от частоты, рассмотрим очень тонкий по сравнению с длиной волны жидкий слой, граничащий второй стороной с вакуумом. При наклонном падении давление будет приходить на различные участки слоя в разных фазах. В пределах участков, малых по сравнению с длиной волны (но больших по сравнению с толщиной слоя), можно считать, что на весь участок действует синфазно равномерно распределенная сила, как если бы на этот участок гармоническая волна падала нормально. Следовательно, и ускорение данного участка будет, как и при нормальном падении, равно отношению Давления к поверхностной плотности слоя, Если, как в примере с жидким слоем, соседние участки препятствия не взаимодействуют, то входной импеданс (или проводимость) не зависит от угла скольжения падающей плоской волны, и то обстоятельство, что фаза движения меняется вдоль границы, роли не играет. В этих случаях для каждой данной частоты будет только одно-единственное значение входного импеданса, от угла скольжения не зависящее. Входной импеданс, не зависящий от угла, называют нормальным импедансом (нормальная проводимость). Можно показать, что для препятствия с нормальным импедансом отношение давления к нормальной скорости на его поверхности вообще не зависит от формы поля и остается тем же, например, при падении сферической волны. Иногда входной импеданс слабо зависит от угла скольжения и этой зависимостью можно пренебречь. Таков, например, входной импеданс среды, скорость звука в которой очень мала по сравнению со скоростью звука в среде, откуда идет волна. В самом деле, тогда угол скольжения прошедшей волны остается весьма близким к 90° при любом угле скольжения падающей волны и, согласно (58.3), входной импеданс почти не зависит от 0, ввиду большой величины каким-либо фиксированным направлением, не зависящим от угла скольжения падающей волны, то и в этом случае импеданс второй среды нормальный. Так будет, например, если поместить во вторую среду (имеющую произвольную скорость звука) «сотовую конструкцию» - гребенку параллельных абсолютно жестких перегородок, делящих среду на независимые слои (или трубочки), узкие по сравнению с длиной волны в среде. Тем самым будет принудительно задан «угол преломления» — как угол а между нормалью к границе раздела и направлением трубочек. Движение в каждой трубочке будет зависеть только от давления на ее конце. Примерно так ведут себя пористые жесткие штукатурки, встречающиеся в архитектурной акустике: воздух в порах имеет принудительное направление движения, не зависящее от угла падения волны в целом. Легко показать, что для сотовой конструкции с наклоном трубочек к нормали а и коэффициентом скважности 8 (отношение площади сечений трубочек к общей поверхности препятствия) входной импеданс равен Итак, для нахождения отражения гармонической плоской волны от плоского препятствия достаточно знать его проводимость или входной импеданс. Если падает плоская волна произвольной формы, то можно поступить так же, как и при нахождении отражения при падении на границу двух сред под закритическим углом (см. § 56). Вообще проводимость зависит от частоты:
то отраженную волну можно написать в виде интеграла
При наклонном падении волны, так же как и при нормальном, идеальные границы можно рассматривать как предельные случаи при стремлении проводимости или импеданса границы соответственно к нулю или к бесконечности. Абсолютно мягкая граница соответствует бесконечной проводимости и нулевому импедансу, а абсолютно жесткая — нулевой проводимости и бесконечному дмпедансу. Можно рассматривать эти случаи и как границы со средой, характеристики которой стремятся к некоторым предельным значениям. Так, абсолютно мягкая граница получится, если стремить к нулю плотность второй среды либо скорость звука в ней (устремляя сжимаемость к бесконечности), что соответствует предельным переходам Обратим внимание на любопытный парадокс, связанный с падением волны под углом скольжения 0° («скользящее падение»). При абсолютно жесткой стенке коэффициент отражения от нее равен Разрешение парадокса — в том, что в двух случаях рассматривают разный порядок предельных переходов: стремление угла скольжения к 0° и стремление проводимости границы к нулю. Если раньше перейти к пределу по проводимости, оставаясь при конечном угле скольжения, и лишь потом стремить угол к нулю, то получим первый случай. Если перейти к пределу Но интереснее всего то, что для реальных сред парадокс делается беспредметным: акустически абсолютно жесткая стенка не осуществима, как мы сейчас покажем, даже при помощи действительно абсолютно неподвижной границы среды. Мы увидим, что при Дело в том, что в реальных средах, в отличие от идеальной жидкости, теплопроводность и вязкость — конечные величины. Поэтому стенку нельзя считать адиабатической границей для среды: граничным условием явится равенство температур среды и стенки, что требует, в отличие от идеальной среды, выравнивания температур между средой и стенкой. Конечная же вязкость приводит к прилипанию частиц к границе; в результате на границе должна обращаться в нуль не только нормальная, но, в отличие от идеальной среды, и касательная компонента скорости частиц. Мы покажем, что такое действие теплопроводности и вязкости эквивалентно малой, но конечной проводимости границы в идеальной среде, а это приводит к коэффициенту отражения —1 при достаточно малых углах скольжения. Выясним в отдельности действие либо только теплопроводности, либо только вязкости. Начнем с действия теплопроводности. Для простоты расчета примем, что температура стенки Если бы стенка была адиабатична, то изменения температуры среды вблизи нее равнялись бы, согласно (14.4),
В силу теплопроводности стенки изменение температуры на границе должно упасть до нуля. Действие стенки в этом отношении равносильно периодическому изменению температуры на границе с той же амплитудой, что и
Распределение температур в реальной среде вблизи теплопроводящей стенки отличается на величину Т от распределения при адиабатической границе. В то же время выравниванием температур на расстоянии порядка звуковой волны или изменением давления и адиабатического нагревания при удалении от стенки на расстояние многих глубин прогревания можно пренебрегать. Но изменение температуры соответствует изменению сжатия
Интегрируя по 2 в пределах от прогревания), получим суммарное изменение объема пристеночного слоя в расчете на единицу площади границы:
Это изменение сжатия пристеночного слоя при теплообмене эквивалентно для падающей волны смещению границы по нормали на ту же величину и. Значит, теплообмен у границы эквивалентен движению адиабатической границы с нормальной скоростью
Отсюда заключаем, что в реальной среде теплообмен акустически эквивалентен замене неподвижной стенки в идеальной нетеплопроводной среде границей с проводимостью
Согласно (58.2) коэффициент отражения равен в этом случае
Поскольку, как мы видели в § 19, отношение
При этом угле к стенке энергия уменьшается при уменьшении Мы видим, что минимальное значение коэффициента отражения не зависит ни от частоты, ни от термодинамических свойств среды; но критический угол от этих характеристик зависит. Действительно, из (58.7) следует (см. § 19), что этот угол равен
Аналогичным способом можно найти и действие вязкости. При отсутствии прилипания касательная скорость среды на границе равнялась бы
Прилипание остановит среду у границы. Действие стенки в этом отношении равносильно сообщению среде на самой границе добавочной касательной скорости той же амплитуды, но противоположного знака. Это создаст в среде вблизи границы сдвиговую волну вида
Это дает дополнительный по сравнению с отсутствием прилипания поток среды через поверхность, перпендикулярную к границе, равный
Выделим мысленно в среде у поверхности границы прямой цилиндр, опирающийся на единичную площадку. Через боковую стенку такого цилиндра вытекает поток, равный
Это изменение количества среды в пристеночном объеме при наличии вязкости равносильно, как легко видеть, смещению по нормали границы в отсутствие вязкости, происходящему с этой же скоростью
Сравнивая (58.8) с (58.5), заключаем, что вязкость в среде и прилипание среды к границе также приводят к появлению эффективной проводимости, как и теплопроводность вблизи теплопроводящей стенки, хотя, конечно, физические картины влияния вязкости и влияния теплопроводности различны. В частности, при скользящих углах падения волны коэффициент отражения стремится к —1; при характерном угле, определяемом (приближенно) формулой
модуль коэффициента отражения минимален и равен, как и в случае теплопроводности, 0,415. При
|
1 |
Оглавление
|