ГЛАВА I. УПРУГИЕ ВОЛНЫ

§ 1. Распространение упругих волн

В первой главе мы выделим задачи механики, которыми занимается акустика, напомним и углубим основные представления акустики как учения об упругих волнах и приведем характерные примеры распространения упругих волн.

Существование упругих волн вытекает из законов Ньютона. Удар по торцу тонкого длинного стержня сжимает слой, прилегающий к торцу, и сообщает ему скорость. Возникшие силы упругости ускоряют следующий слой и деформируют его. Упругие силы, возникшие при деформации второго слоя, остановят первый слой, а второй слой приобретет скорость. В результате окажется, что первый слой остановился и вернулся в недеформированное состояние, а второй начал двигаться и сжался. Так движение и деформация будут передаваться от слоя к слою, — по стержню побежит упругая волна, которая будет переносить исходное возмущение вдоль по стержню практически без изменения.

Во всех других случаях распространения упругих волн в любых средах — твердых, жидких и газообразных — основные черты картины те же, что мы описали для стержня: частицы среды в волне приобретают скорость, деформируются и в них возникают упругие напряжения, которые и передают вгушу дальше по телу.

Заметим, что из приведенной наглядной картины еще не следует существование упругих волн, пока мы не подкрепили качественные рассуждения фактическим обращением к законам Ньютона (мы выполним это в § 8). Действительно, подобное описание можно было бы повторить и для «теплового удара» — кратковременного прикладывания нагретого тела к торцу. Первоначально нагреется торцевой слой, затем он нагреет смежный слой, а сам при этом охладится, и т. д. Однако, как можно показать, тепловой волны, переносящей нагретое состояние вдоль стержня, не возникает: нагревание расплывается по начальному участку стержня. Передача тепла описывается совсем другими законами, чем передача механического возмущения.

При распространении волны следует различать два совершенно разных явления: движение частиц среды в волне и перемещение самой упругой волны по среде. Первое явление — это движение

частиц как материальных точек; второе явление - переход возмущенного состояния среды с одних частиц на другие. Так, величина смещения и скорость частицы в волне зависят от силы звука, например для слышимых звуков — от их громкости. Эти величины в звуковой волне, как правило, очень малы, а после прохождения волны каждая частица практически остается в своем исходном положении. Волна же удаляется по среде от места возникновения; скорость ее велика (сотни и тысячи метров в секунду) и не зависит от силы звука, а только от свойств среды: чем больше упругость среды, тем больше упругие напряжения, возникающие в среде при данной деформации, и тем быстрее передается возмущение от частицы к частице — тем больше скорость звука; чем больше плотность, тем Медленнее частицы приобретают скорость при действии данных упругих напряжений — тем скорость звука меньше.

Скорость звука всегда конечна и определяется именно упругими свойствами и плотностью среды. Отсюда следует, что во всех акустических вопросах нужно учитывать как упругость среды, так и ее инерционные свойства; от других же свойств среды ее акустическое поведение не зависит.

Если к телу приложить силу, то в нем всегда должна создаться упругая волна. Однако в обычных задачах теоретической механики упругие волны не учитывают. Например, изучая движение свободного тела, возникающее под действием прикладываемой к телу силы, считают, что ускорение получает сразу все тело в целом, а не только участок приложения силы, затем соседний участок и т. д. Аналогично, рассматривая действие силы на закрепленное тело, считают, что тело, деформируясь, приходит в равновесие все сразу, во всех своих частях. Такой подход равносилен предположению, что скорость звука в теле бесконечна. В первом примере это соответствует абсолютно жесткому телу (бесконечная упругость), а во втором — безмассовому телу. Механические задачи при таком подходе сильно упрощаются. В частности, оказывается возможным в каждой задаче учитывать либо только массу тела (первый пример), либо только его упругие свойства (второй пример).

Акустика принципиально отказывается рассматривать реальные тела как абсолютно жесткие или безмассовые, потому что при этом теряется изучаемое явление: распространение волны, т. е. передача возмущения по телу с конечной скоростью. К специфично акустическим задачам мы относим те, в которых возникающие упругие волны существенно сказываются на явлении в целом. К задачам же теоретической механики в чистом виде относим те, в которых упругими волнами можно пренебрегать.

Упругие волны отсутствуют, если сила, действующая на тело, постоянна. Упругие волны малы, если сила меняется медленно, так что передача возмущения по телу успевает происходить за малую. долю времени, характерного для изменения силы. При синусоидальном действии силы за характерный промежуток времени можно считать ее период, при импульсном действии — время нарастания

силы. Время же передачи возмущения определяется характерным размером тела и скоростью звука.

Обозначим скорость звука через с, характерный размер тела через и характерный промежуток времени через Т. Процесс можно считать медленным, можно пренебрегать возникающей упругой волной и относить задачу к «обычной» механике, если

Тогда состояние тела в каждый момент (его ускорение и деформация) зависит только от сил, действующих на него в этот же момент. Если же это неравенство не выполнено, то процесс следует считать быстрым. Движение тела определяется при этом в основном возникшей упругой волной. В частности, ускорение и скорости разных точек свободного тела различны: тело двигается не как одно целое; если же тело закреплено, то его деформированное состояние определится не только величиной сил в данный момент, но и ранее созданными волнами.

Между такими крайними случаями лежат и все промежуточные соотношения между характерным временем действия силы и временем пробега волны по телу, когда роль упругих волн может оказаться более или менее важной.

В качестве примера укажем, что синусоидальную силу частотой 1000 Гц, действующую на стальной стержень длиной 10 см, следует считать медленным воздействием (скорость звука в стали превышает 5000 м/сек). Если эта сила действует вдоль стержня на один его конец, то различие в ускорениях между двумя концами, меньше 1 %; обычно такой малой разницей можно пренебречь. Если второй конец стержня жестко оперт, то таким же малым окажется и различие в сжатиях у опертого конца и конца, на который действует сила: стержень будет сжиматься и растягиваться «квазистатически», почти равномерно по всей длине. Но ту же силу следует считать быстрым воздействием, если она приложена к длинному рельсу: она создаст в нем типичный волновой процесс (стоячую волну); части рельса будут сжаты в то же время, когда другие — растянуты.

Для Земли в целом следует считать быстрыми даже воздействия с периодами во много минут; при землетрясениях в земной коре возникают упругие волны с периодами, доходящими почти до часа: это — время, требующееся для пробега упругой волны по всей планете.

В некоторых явлениях упругие волны могут оказаться существенными, даже если нас интересует только движение данного тела как целого. Например, в классической задаче о соударении идеально упругих шаров пренебрежение возникающими упругими волнами приводит к ошибке при подсчете скорости шаров после соударения. В самом деле, уравнение сохранения энергии обычно пишут как равенство кинетических энергий системы шаров до и после соударения. Правильное решение должно учитывать, однако,

и энергию возникших при ударе упругих волн. Кинетическая энергия шаров, рассматриваемых как материальные точки, окажется поэтому после соударения всегда меньше, чем перед соударением, — удар шаров из идеально упругого материала происходит подобно удару шаров с неполной упругостью.

Изучать упругие волны можно двумя принципиально разными способами. Можно рассматривать волну как движение материальных точек (частиц среды), упруго взаимодействующих между собой. В этом способе объект изучения — отдельные частицы среды и их движение. К частицам можно применит, уравнения механики системы материальных точек, учесть силы взаимодействия между ними, их инерцию и найти таким способом движение каждой частицы. Так удается рассмотреть, однако, только простейшие виды волн — бегущие одномерные волны (примеры см. в §§ 6—8). Для волн же любого вида этот способ весьма неудобен. В самом деле, силы упругости, действующие на какую-либо частицу, вызваны деформациями соседних частиц, а эти деформации связаны с движением еще более удаленных частиц и т. д.; в итоге, чтобы найти движение одной частицы, требуется выяснить и движение всех остальных частиц среды. Но тогда, оказывается, проще с самого начала отказаться от громоздкого рассмотрения поведения каждой частицы в отдельности и вместо этого изучать волну в целом как самостоятельный объект. В этом и заключается второй способ.

При втором способе изучения содержание акустики как науки можно назвать механикой упругих волн, в противоположность механике частиц среды, с которой имеем дело при первом способе.

Выбор в качестве основного объекта изучения не отдельных частиц среды, а всей волны в целом диктуется тем, что для волны удается найти простые законы поведения: законы распространения, законы отражения и преломления на границах разных сред, законы рассеяния от препятствий, особенности поведения в ограниченных областях среды и т. д. Получить равноценные результаты, изучая движение системы отдельных взаимодействующих частиц, было бы практически невозможно. Конечно вывод уравнения поведения волн основан на тех же уравнениях механики частиц. Более того, все результаты волновой теории в принципе можно было бы получить расчетом движений всех частиц среды, сколь ни неосуществимо на практике было бы такое вычисление: принципиальной невозможности, вроде той, которая встречается при попытке вывода законов термодинамики только из механики Ньютона, здесь нет.

Схема построения акустики как механики упругих волн имеет, таким образом, следующий вид. Общие законы поведения упругих волн мы получим как следствия ньютоновской механики для частиц среды. Но, получив эти законы, мы в каждой конкретной физической ситуации будем искать поведение волны в целом, уже не интересуясь движением отдельных частиц среды, в которой бежит волна. В тех же случаях, когда это понадобится, можно снова

перейти к частицам: изучив волну в целом, легко найти движение каждой частицы.

Роль механики волн как самостоятельной дисциплины подчеркивается следующим обстоятельством. В смежных науках — оптике и радиофизике, также изучающих волны, — нет речи о частицах среды, да и о самой среде тоже (для основного явления — распространения электромагнитных волн в вакууме). Но, тогда как электрические и магнитные явления нельзя связать с механическим поведением тел, законы электромагнитных волн оказались весьма близкими к законам механики упругих волн. Волновая картина в этом смысле универсальна. В отличие от акустики, волновые представления в других науках, имеющих дело с волновыми явлениями, первичны, но свои исходные понятия и математический аппарат эти науки в значительной степени заимствовали из акустики как науки о волнах. Исторически акустика послужила прототипом всех волновых наук.

Хотя звуковая волна — механическое явление, поведение волны — явление совершенно иное, чем движение материальных тел. Действительно, обычные в механике тел понятия координаты, траектории, ускорения, неприменимы к волне или применимы лишь частично, хотя эти понятия остаются полностью в силе для каждой частицы среды, в которой бежит волна. Так, волне, выходящей из некоторого источника звука, нельзя приписать какой-либо траектории, так как она расходится от источника во все стороны.

Любая волна в данной среде движется с неизменной скоростью, поэтому к волне понятие ускорения неприменимо. Требует более глубокого анализа даже основное в акустике понятие скорости волны: оно оказывается отличным от понятия скорости тела (см. § 4).

Но даже в тех случаях, когда поведение волны, казалось бы, похоже на движение тела по инерции (например, бегущая плоская волна), все же это поведение принципиально отлично от движения тела. Так, если на пути волны есть препятствие, то она разделится на две волны, бегущие в противоположных направлениях: отраженную и прошедшую. При падении синусоидальной волны эти обе волны также будут синусоидальными, а если подобрать препятствие так, чтобы их амплитуды были равны, то они окажутся равными 0,707 от амплитуды падающей волны. Если бы, однако, обе такие волны были посланы вместе в одну сторону, то они образовали бы одну волну с амплитудой .

Далее, если в какой-либо среде бегут две волны, то. каждая бежит, «не замечая» другой, как если бы в среде существовала только она одна. Вместе с тем для волны явится препятствием каждая неоднородность среды. Попадая на ограниченное препятствие, волна рассеивается во все стороны; при этом какая-то часть волны возвращается и в то место, откуда вышла исходная волна, — на этом основаны гидролокация и ультразвуковая дефектоскопия

(обнаружение при помощи ультразвука дефектов, например трещин, внутри непрозрачных материалов).

Ввиду всех этих и многих других особенностей поведения волн, <Гволнах, как правило, не говорят «движутся», оставляя этот термин для перемещений тел (в том числе, конечно, и для перемещений частиц среды в волне). О волне говорят, что она «распространяется», понимая под этим термином всю картину изменения возмущенного состояния среды с течением времени.

Для описания распространения упругих волн существует привилегированная «абсолютная» система координат: система, связанная с самой средой в целом. Для электромагнитных волн в вакууме, конечно, никакой привилегированной системы нет.

Отметим, наконец, что простые законы распространения упругих волн справедливы только при условии достаточной малости отклонений частиц среды в волне от положения равновесия. Понятие об изменении этих законов при нарушении условия малости колебаний дадим в гл. XIII.