ГЛАВА VI. НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН

§ 53. Отражение и прохождение плоских волн при наклонном падении. Закон Снеллиуса

При наклонном падении плоской волны на плоское однородное препятствие возникают такие же вопросы об отражении и прохождении, как и при нормальном падении. Но в этом случае задача не одномерная: данная фаза волны подходит к разным точкам препятствия не одновременно — след волны бежит вдоль препятствия. Медленность следа зависит не только от медленности звука в данной среде, но и от угла скольжения 0 падающей волны — угла, составляемого вектором медленности падающей волны 5 с поверхностью препятствия. Поэтому вообще отражение и (если препяктвие — другая среда) прохождение зависят не только от свойств препятствия, но и от этого угла.

Зная медленность волн в данной среде и угол скольжения падающей волны, можно найти вектор медленности отраженной волны, а зная, кроме того, величину медленности во второй среде, можно найти и вектор медленности волны, прошедшей во вторую среду.

В самом деле, для того чтобы на границе препятствия выполнялись граничные условия, необходимо, чтобы медленности следов на препятствии падающей, отраженной и прошедшей волн были равны между собой. Физический смысл этого требования — в том, чтобы следы волн не обгоняли друг друга. При нарушении этого требования, даже если граничные условия удовлетворены в какой-то момент времени, они нарушатся вследствие «расфазировки» следов в другие моменты. Ясно, что требование равенства медленностей следов универсально и должно выполняться для всяких типов плоских волн, падающих на любые плоские однородные препятствия.

Это требование будем называть законом Снеллиуса. Его можно сформулировать еще и по-другому: так как медленность следа волны на плоскости равна проекции вектора медленности волны на эту плоскость, то проекции векторов медленности падающей, отраженной и прошедшей волн на границу препятствия должны совпадать. Значит, если все три вектора медленности отложить

от какой-либо точки границы, то концы векторов будут лежать на одной нормали к границе (рис. 53.1).

Обозначим через единичный вектор нормали к границе, направленный из среды, в которой распространяется падающая волна, в препятствие, и направим ось z по вектору ось х выберем в плоскости падения — плоскости, содержащей векторы . Очевидно, вектор медленности отраженной волны можно записать в виде

У падающей и отраженной волн -компоненты векторов медленности равны друг другу и равны модуль этой компоненты равен -компоненты противоположны и равны модуль этой компоненты равен Угол между, вектором и границей называют углом скольжения отраженной волны. Очевидно,

Легко видеть, далее, что вектор медленности во второй среде равен

Рис. 53.1. Расположение векторов медленности падающей, отраженной и прошедшей волн при падении на плоскую границу двух сред

Пользуясь формулой легко записать вектор медленности прошедшей волны через вектор медленности падающей и коэффициент преломления

Но согласно закону Снеллиуса должно быть

где угол скольжения прошедшей волны. Следовательно,

Отсюда следует, что углы скольжения падающей и прошедшей волн взаимны: соотношение сохранится, если считать вторую среду первой и первую — второй, приняв 0 за угол скольжения падающей волны, за угол скольжения прошедшей и положив коэффициент преломления равным

Из (53.6) следует, что при прохождении угол скольжения меньше с той стороны, где медленность меньше: при при Из (53.6) находим далее

При падении на плоскослоистую многослойную среду волна, проходя из слоя в слой, частично проходит и частично отражается, причем на каждой границе выполняется закон Снеллиуса: проекции векторов медленности всех отраженных и проходящих волн на границы слоев равны между собой и равенство

выполняется для всех этих волн. Это же равенство будет соблюдаться и в пределе, при сколь угодно тонких слоях, когда среду можно представить себе как слоисто-неоднородную с непрерывно изменяющимися характеристиками (см. § 57).

В векторной форме закон Снеллиуса (53.8) можно переписать в виде

где — вектор медленности любой из отраженных или прошедших волн.

Иногда вместо углов скольжения пользуются углом падения углом отражения и углом преломления углами между соответственными векторами медленности и нормалью к границе (внешней нормалью для углов и внутренней для угла Очевидно,

Формулы (53.2) и (53.6) можно записать в виде

Эти соотношения формулируются в школьном курсе физики как законы Снеллиуса для световых лучей. Первый закон Снеллиуса: угол падения равен углу отражения; второй закон Снеллиуса: синусы углов преломления и падения относятся как скорости света в соответственных средах. На волновом языке мы объединили оба закона в один; применение волновой картины показало универсальность закона Снеллиуса для любого типа волн.

Из всего сказанного следует, что для плоской волны, падающей на однородное плоское препятствие, падающую и отраженную волны всегда можно записать в виде

где определяется формулой (53.1). Форма волны вообще при отражении меняется, т. е. функции различны. Если различие заключается только в постоянном множителе, т. е.

то отражение правильное и называют коэффициентом отражения.

Аналогично, если на границе со второй средой прошедшая волна плоская, то она должна иметь вид где определяется формулой (53.3) или (53.4). Вообще форма волны при прохождении меняется. Если различие заключается только в постоянном множителе, т. е.

то прохождение правильное и называют коэффициентом прохождения.

В настоящей главе ставится задача отыскания волны для задачи о границе двух сред) для любого однородного линейного плоского препятствия и при любом виде падающей волны

Для идеальных границ выражение для отраженной волны получается элементарно. Как легко проверить, на абсолютно мягкой границе волна

отражается в виде волны

Аналогично отражение на абсолютно жесткой стенке имеет вид