§ 65. Крышки с потерями

Предположим теперь, что крышка трубы частично поглощает падающую на нее энергию, так что колебания в трубе постепенно затухают. Затухающее колебание можно представить как колебание с комплексной частотой, мнимая часть которой отрицательна. Поглощающая крышка характеризуется комплексной проводимостью причем должно быть Рассмотрим трубу, у которой одна крышка абсолютно жесткая, а вторая — поглощающая. Для такой трубы частотное уравнение (64.3) примет

Из этого уравнения можно найти вещественную и мнимую части а значит, и вещественную и мнимую части . В общем случае уравнение (65.1) придется решать численно, но если наличие поглощения вносит лишь малую поправку в величину со, то уравнение можно решить и аналитически.

В самом деле, пусть решение частотного уравнения в отсутствие поглощения есть так что Положим и будем считать . Разлагая в (65.1) тангенс в ряд и ограничиваясь первыми тремя членами разложения, найдем

Разделяя вещественную и мнимую части, видим, что вещественная поправка — величина второго порядка малости по отношению к мнимой поправке.

Ограничиваясь членами не выше второго порядка малости относительно а, найдем

Разложением (65.2) можно пользоваться, если третий член много меньше второго по модулю, т. е. при условии

Если (реактивная проводимость крышки имеет порядок величины волновой проводимости среды или превосходит ее), то условие будет выполнено только при Формулы (65.3) можно переписать в виде

Значит,

В первом приближении по малой величине частот колебания не меняется и действие поглощения на крышках сводится только к затуханию колебаний. С этой точностью собственное колебание трубы можно записать в виде

Частота колебаний изменяется только во втором порядке: при упругих крышках появление поглощения уменьшает частоту, при массовых — увеличивает.

При чисто активной проводимости второй крышки уравнение (§ 4.3) напишем в виде

При имеем так что

вещественная часть частоты в точности равна частоте колебаний в трубе с абсолютно жесткой второй крышкой, а коэффициент затухания равен При малой относительной проводимости это дает а поле в трубе приближенно равно

При имеем так что

вещественная часть частоты в точности равна частоте колебаний в трубе с одной жесткой и второй мягкой крышкой, а коэффициент затухания равен Для большой относительной проводимости это даег

а поле в трубе принимает вид

При из частотного уравнения получаем что соответствует бегущей волне. Однако из условия на первой крышке следует, что амплитуда волны должна равняться нулю: искомое решение в данном случае — тождественный нуль.

Важный случай комплексной проводимости крышки — это открытый конец трубы. До сих пор мы считали, что проводимость открытого конца бесконечна. Это не точно: проводимость велика, но имеет конечное значение. В самом деле, на открытом конце лежит пучностьскорости. Значит, при колебаниях через открытый конец попеременно втекает и вытекает поток среды; открытый конец можно рассматривать как некоторый излучатель звука. Поэтому через открытый конец излучается энергия из трубы в окружающую среду. Но в этом случае на открытом конце трубы должна совершаться работа, следовательно, давление на открытом конце должно быть отлично от нуля: работа этого давления над потоком, протекающим через открытый конец, и должна равняться излучаемой энергии. Подробнее этот вопрос рассмотрим в § 90.