§ 72. Нормальная проводимость стенок

Теперь рассмотрим волноводы со стенками, характеризующимися нормальной проводимостью. Характерные черты таких волноводов будут ясны уже в случае, если одна стенка волновода (например, нижняя) абсолютно жесткая и только вторая характеризуется нормальной проводимостью. Полагая для простоты записи амплитуду волны равной единице, можем нормальные волны для этого случая записать в виде

z-компонента скорости частиц выразится формулой

Граничное условие на верхней стенке запишется так:

где проводимость стенки. Подставляя сюда (72.1) и (72.2), найдем условие на верхней стенке:

где относительная проводимость стенки. Эту формулу можно рассматривать как дисперсионное уравнение для данного волновода: определив отсюда , найдем из (70.2). В настоящем параграфе ограничимся случаями чисто мнимой проводимости, т. е. будем считать, что потерь на стенке нет. Наличие вещественного слагаемого в У, соответствующего поглощению на стенке, рассмотрим в § 74.

Выясним, когда можно пренебрегать конечной проводимостью второй стенки, т. е. при каком условии нормальные волны в волноводе мало отличаются от соответственных волн в волноводе с обеими жесткими стенками. Требований два: должно мало измениться распределение давлений поперек волновода и должна мало измениться скорость волны. Для нулевой нормальной волны первое требование будет удовлетворено, если величина мала по сравнению с единицей. В этом случае, полагая в (72.3) тангенс равным аргументу, имеем приближенно откуда получим требование к проводимости в виде: Далее приближенно найдем

Следовательно, для того чтобы скорость волны мало изменилась, должно выполниться требования Для широкого волновода более жестким является первое условие, для узкого — второе.

Для волны произвольного номера приближенное сохранение распределения давления поперек волновода требует выполнения условия где тогда (72.3) приводит к требованию Далее с той же степенью точности, что и выше

где и, следовательно, чтобы скорость мало изменилась, требуется выполнение условия Это условие может оказаться значительно жестче первого условия при приближении к критической частоте данной нормальной волны.

Можно получить аналогичные условия для очень большой проводимости стенки. Нормальные волны будут в этом случае близки волнам с абсолютно мягкой второй стенкой. Если проводимость ни очень мала, ни очень велика, то нормальные волны не похожи на те, которые получаются при идеальных стенках, и приходится, исследовать дисперсионное уравнение более подробно. К этому сейчас и перейдем.

Если стенка осуществлена в виде сосредоточенной массы, то проводимость ее равна , где поверхностная плотность стенки. Дисперсионное уравнение можно записать в этом случае в виде

Если стенка осуществлена в виде сосредоточенной упругости, то проводимость равна где поверхностный коэффициент упругости. В этом случае дисперсионное уравнение принимает вид

Здесь через обозначена собственная частота осциллятора, образованного стенкой как элементом упругости, и средой, заполняющей волновод, как элементом массы.

Если проводимость стенки чисто мнимая, но стенка осуществлена не в простейшем виде сосредоточенной массы или упругости, а в виде более сложной конструкции, вышеприведенными формулами можно все же пользоваться, однако в этом случае следует приписывать величинам поверхностной плотности или упругости значения, соответственно меняющиеся с частотой. Так, для положительной мнимой проводимости достаточно положить в (72.6) а для отрицательной мнимой проводимости положить в (72,7)

Найдем нормальные волны для стенки в виде сосредоточенной массы. Дисперсионное уравнение можно решать графическим методом, отыскивая, точки пересечения ветвей котангенсоиды

и прямой Абсциссы получающихся точек пересечения дадут нам искомые значения для последовательных номеров нормальных волн. Так как эти значения не зависят от частоты волны, то (как и в случае абсолютно жестких или абсолютно мягких стенок) распределение поля поперек волновода для данной нормальной волны также не будет зависеть от частоты и будет справедлива формула (70.8). В рассматриваемом волноводе имеются волны всех номеров, включая и нулевую волну, т. е. волну, для которой знак давления сохраняется по всей высоте волновода. Значения абсцисс точек пересечения дают также критические значения В отличие от случая обеих жестких стенок критическая частота нормальной волны нулевого номера отлична от нуля. Таким образом, при достаточно низкой частоте в волноводе может распространяться никакая нормальная волна. Нулевая волна также обладает дисперсией и ее фазовая скорость обращается в бесконечность, а групповая скорость обращается в нуль при критической частоте.

Рис. 72.1. Графическое решение дисперсионного уравнения (72.6) для волновода с массовой стенкой. Точки дают значения для нормальных волн соответственных номеров независимо от частоты; они же дают критические значения для этих нормальных волн.

Значение для нормальной волны номера I лежит между сдвигаясь к первому значению при увеличении массы и ко второму — при уменьшении массы. При безграничном увеличении поверхностной плотности или при стремлении ее к нулю придем соответственно к предельным случаям волновода с обеими бесконечно жесткими стенками и к волноводу с одной бесконечно жесткой и одной абсолютно мягкой стенкой. Последнее объясняет «запирание» волновода на конечной частоте для нулевой волны.

Для случаев «малой» и «большой» массы стенки дисперсионное уравнение можно решить приближенно и аналитически. Так, для тех номеров нормальных волн, для которых («малая нагрузка»), можно положить где Тогда из (72.6) найдем приближенно

Нормальные волны мало отличаются от волн для волновода с мягкой стенкой. Для нормальных волн, для которых («большая нагрузка»), можно положить где . Тогда приближенно

Нормальные волны высоких номеров мало отличаются от нормальных волн для волновода с абсолютно жесткими стенками, как и следовало ожидать ввиду роста импеданса массового типа при увеличении частоты.

Теперь перейдем к случаю стенки упругого типа. Выясним раньше всего, возможна ли в таком волноводе нулевая волна, т. е. волна, сохраняющая знак давления по всему поперечному сечению волновода. Для того чтобы сохранялся знак давления, должно быть Но в пределах первой четверти тангенс положителен, значит, уравнение (72.7) такого корня не имеет и нулевой волны с вещественным быть не может.

Решение, однако, есть при чисто мнимом: полагая приведем (72.7) к виду

Рис. 72.2. Графическое решение дисперсионного уравиеиия (72.10) для нулевой волны в волноводе с упругой стенкой.

Так как при изменении от нуля до бесконечности левая часть (72.8) изменяется также от нуля до бесконечности, то, каково бы ни было отрицательное мнимое уравнение всегда имеет решение. Искомая волна имеет вид

где решение уравнения (72.8). Таким образом, в волноводе с упругой стенкой нулевая волна имеется при любой частоте (критическая частота равна нулю). Нулевая волна при низкой частоте — это то же, что волна в узкой трубе с упругой стенкой (§ 68). Фазовая скорость этой волны меньше скорости звука в неограниченной среде, — это и есть то исключение, которое упоминалось в § 70. Нулевая волна обладает дисперсией скорости.

Для волновода с упругой стенкой, осуществляемой устройством типа пружины, дисперсионное уравнение для нулевой волны можно представить в виде

Это уравнение удобно решать графическирис. 72.2), отыскивая точку пересечения графиков зависимости от гиперболического котангенса и прямой

Если задано значение или частота волны, то угол наклона прямой найдется из уравнения

При , что соответствует ; это значит, что давление на нижней стенке составляет от давления на верхней стенке.

Дисперсионное уравнение упрощается для «малых» и для «больших» частот. В первом случае и можно положить приближенно дисперсионное уравнение примет вид откуда получим В этом случае распространение происходит в принятом приближении без дисперсии, со скоростью

Лоле нулевой волны в этом случае приближенно выражается так:

т. е. давление распределено по сечению волновода почти равномерно. Выражение для скорости волны подобно выражению, полученному в § 68 для узкой трубы с упругой стенкой. Мы видим, что применимость этой формулы не требует обязательно узости волновода: достаточно выполнения условия

которое осуществимо и в широкой трубе если только х достаточно велико.

В другом предельном случае гиперболический котангенс можно приближенно положить равным единице. Тогда и дисперсионное уравнение нулевой нормальной волны примет вид

Дисперсионное уравнение оказывается независимым от высоты волновода и совпадает с уравнением поверхностной волны, бегущей вдоль импедансной упругой поверхности с поверхностной упругостью х (§ 59). Это значит, что поле вблизи жесткой стенки настолько мало по сравнению с полем на упругой стенке, что наличие или отсутствие второй стенки (или замена ее стенкой с другими свойствами) уже не играет роли. Здесь в свою очередь выделяются два предельных случая: большое и малое значение параметра

по сравнению с единицей (выше предполагалось только, что это отношение велико по сравнению с Для случая получим фазовую скорость

фазовая скорость может оказаться много меньшей с. Групповая скорость равна в этом случае половине фазовой.

Для другого предельного случая как фазовая, так и групповая скорости мало зависят от частоты, почти равны скорости в неограниченной среде и обе меньше этой скорости. Однако распределение давления поперек волновода и в этом случае таково, что на второй стенке поле много меньше, чем на упругой стенке. Хотя поправка к скорости сравнительно с однородной волной и мала, но в распределение амплитуд по фронту она входит в экспоненту и поэтому сказывается сильно.

Итак, в волноводе с упругой стенкой всегда есть нулевая упругая волна (72.9). Фазовая скорость ее распространения всегда меньше скорости распространения в неограниченной среде.

Кроме нулевой волны в таком волноводе могут распространяться и нормальные волны волноводного типа — волны высших номеров, для которых давление уже не сохраняет знак по всему сечению волновода. Каждая из них будет даваться формулой (72.1) при вещественных значениях . Для каждой из них имеется своя критическая частота, ниже которой данная нормальная волна будет неоднородной вдоль волновода. Выше критической частоты будет вещественным и меньшим, чем

В самом деле, отказавшись от условия можем удовлетворить дисперсионному уравнению (72.7) бесконечным числом решений, при которых Критические частоты получатся при помощи построения, показанного на рис. 72.3, выполненного для случая проводимости типа пружины. Значения (точки соответствуют критическим частотам для первой, второй, нормальной волны. Этот же график позволяет находить значения для любого заданного значения Абсциссы точек параболы — представляют собой значения а абсциссы последовательных ветвей графика, изображающего функцию представляют собой значения На графике дано построение, решающее дисперсионное уравнение для данной, частоты, т. е. для заданного значения Построение позволяет по данному получить соответственное значение для каждой из ветвей графика, соответствующей каждая отдельной нормальной волне. Для примера, изображенного на графике, первые две волны имеют значения меньшие, чем исходное значение и, следовательно, для них значения вещественны (и меньше и соответственные

нормальные волны распространяющиеся. Для третьей нормальной волны получается значение большее х и, следовательно, значение чисто мнимое: волна — неоднородная вдоль оси волновода.

В данном случае для волны данного номера I значение а значит и распределение давления поперек волновода, не остается постоянным, как это было при идеальных стенках или стенках в виде сосредоточенной массы, но меняется с изменением частоты.

Рис. 72.3. Графическое решение уравнения (72.7) для волновода с упругой стойкой для нормальных волн порядка

Из рис. 72.2 видно, что критическое значение для нормальной волны номера I всегда лежит между При безграничном повышении частоты, начиная от критической, величина монотонно уменьшается от значения стремясь к величине При бесконечной частоте распределение давления поперек волновода такое же, как для абсолютно мягкой верхней стенки. Число узлов давления по высоте волновода для нормальной волны данного номера равно при любой частоте номеру волны, как это было и в случае волновода с абсолютно жесткими стенками.

Для каждой данной волны фазовая скорость уменьшается при увеличении частоты. Поэтому в дисперсионном уравнении (72.7) от частоты зависят и и , так что для волновода с упругой стенкой уже нет такого простого соотношения между фазовой и групповой скоростью, какое имело место для ранее рассмотренных волноводов. Ясно только, что при бесконечном увеличении частоты как фазовая, так и групповая скорости стремятся к скорости звука в неограниченной среде. Так же, как и для случая абсолютно жесткой (или абсолютно мягкой) стенки, фазовая скорость при критической частоте равна бесконечности, и волна в волноводе представляет собой одномерное колебание поперек волновода, синфаз:

ное по всей его длине и совпадающее с колебанием в узкой трубе длиной с крышкой с проводимостью

Как и для нулевой нормальной волны, для нормальных волн высших порядков также можно получить приближенные решения дисперсионного уравнения для предельных случаев малых и больших частот. Так, для из (72.7) следует, что для волны номера I близко к Полагая где , имеем приближенно

и приближенно

Для из (72.7) следует, что близко к Полагая где имеем приближенно

откуда

Теперь перейдем к волноводам с обеими стенками, характеризуемыми нормальной проводимостью. Обозначим входные проводимости нижней и верхней стенок через соответственно. Нормальную волну будем искать в виде (70.1). Граничные условия для нижней и верхней стенок запишутся в виде

Исключая угол при помощи тождества получим дисперсионное уравнение в виде

Подробного исследования этого случая проводить здесь не будем. Легко видеть, что при приходим к уже разобранному случаю волновода с одной импедансной и одной абсолютно жесткой стенкой.

Как и в волноводах с идеальными стенками, нормальные волны в волноводах с импедансными стенками можно также представлять в виде суперпозиции двух плоских волн, бегущих под углами скольжения к оси волновода, причем угол по-прежнему

связан с соотношением (70.11). Уравнение (72.11) можно записать в виде уравнения относительно этого угла в следующем виде:

Фазовая скорость искомой нормальной волны по-прежнему будет задана формулой (70.12), но, за исключением волноводов со стенками в виде сосредоточенных масс, групповую скорость уже нельзя будет найти по простой формуле это обусловлено зависимостью от частоты.

Хотя нахождение групповой скорости в волноводе с произвольными импедансными стенками требует трудных расчетов, легко показать, что для всех нормальных волн, кроме нулевой, групповая скорость при критической частоте равна нулю. Мы видели, что это справедливо для волноводов с абсолютно жесткими или абсолютно мягкими стенками или со стенками в виде массовой нагрузки. Теперь предположим, что стенки имеют произвольную проводимость. Дисперсионное уравнение (72.11) определяет как функцию На критической частоте При малом отклонении от критического значения а, величина также получит некоторое приращение и станет равной где А — конечная величина: в точке Отсюда следует, что значение в точке, близкой к критической, равно

где В — тоже конечная величина. Но в критической точке Значит, новое значение есть приращение соответствующее приращению равному Отсюда находим и групповую скорость:

что и требовалось доказать.