§ 112. Рассеяние звука пузырьком газа в жидкости

Среди малых препятствий газовый пузырек в жидкости замечателен своей высокой эффективностью рассеяния монопольного типа: пузырек всегда рассеивает много больше, чем абсолютно жесткое препятствие того же размера. Начиная с некоторой частоты, сечение рассеяния пузырька превосходит его поперечное сечение, а вблизи резонансной частоты еферически-симметричных пульсаций пузырька в воде сечение рассеяния превосходит его поперечное сечение в тысячи раз.

В § 89 мы нашли собственные колебания пузырька, в частности его резонансную частоту Теперь найдем вынужденные колебания пузырька под действием падающей на него звуковой волны; это позволит найти рассеиваемую им волну.

Пузырек — препятствие, имеющее и другую плотность, и другую сжимаемость, чем среда. Поэтому он создает и дипольное рассеяние, вызываемое его поступательными колебаниями как целого относительно жидкости, и монопольное рассеяние, вызываемое пульсациями. Мы видели в § 111, что поле дипольного рассеяния пузырька всего вдвое больше, чем рассеяние от неподвижной жесткой сферы, а рассеянная энергия всего вчетверо больше, так что сечение рассеяния для дипольного рассеяния составляет всего т. е. по-прежнему очень мало по сравнению с поперечным сечением препятствия. Другая картина получается для монопольного рассеяния. Здесь придется провести более подробное исследование.

Начнем со случая частот, много меньших резонансной частоты пузырька. При таких частотах можно считать, что осциллятор, которому мы уподобили пузырек, находится в квазистатическом режиме» Сжимаемость пузырька — это просто сжимаемость газа

в пузырьке, и для расчета рассеяния достаточно подставить эту величину в формулы § 110. Так, при адиабатическом колебании, когда теплообмен между газом и окружающей жидкостью не успевает произойти, сжимаемость газа равна и в формуле (110.4) можно пренебрегать единицей по сравнению с отношением сжимаемостей Таким образом, в области низких частот сечение рассеяния пузырька можно положить приближенно равным

Хотя частотная зависимость получилась такой же, как и для рассеяния на несжимаемом препятствии, абсолютная величина рассеяния выросла в огромной степени: в отношении квадратов сжимаемостей газа и жидкости. Для воздушного пузырька в воде это составляет около восьми порядков!

Пользуясь соотношениями получим следующее выражение для поперечного сечения рассеяния

Этой формулой можно пользоваться, пока величина мала по сравнению с единицей. Ошибка в расчете не превысит примерно 10%, если При повышении частоты и приближении ее к резонансной, а также при дальнейшем увеличении частоты формулой (112.2) пользоваться уже нельзя: хотя газ в пузырьке по-прежнему будет сжиматься и расширяться квазистатически, сжимаемость пузырька не будет равна сжимаемости содержащегося в нем газа, так как пузырек в целом как осциллятор уже не будет находиться в статическом режиме. Даже по фазе сжатие пузырька перестанет совпадать с давлением в падающей волне. Можио было бы все же воспользоваться той же формулой (112.1) для расчета рассеяния, найдя специально эффективную сжимаемость пузырька на любой частоте (это была бы вообще комплексная величина). Но проще решить общую задачу о рассеянии с самого начала, задаваясь первичной волной и отыскивая объемную скорость пузырька из граничных условий на его поверхности все в том же предположении о малости радиуса пузырька по сравнению с длиной волны в газе, заполняющем пузырек. Перейдем к такому расчету.

Пусть пузырек находится в поле гармонической первичной волны о единичной амплитудой давления. Волна, излучаемая пульсациями пузырька, вызванными действием этой волны, и будет искомой рассеянной волной. Ее можно записать в виде

где неизвестная объемная скорость определится из граничного условия, которое можно сформулировать как требование

равенства сопротивлений на границе внутри и снаружи пузырька. Сопротивление внутри пузырька найдем из формул § 89:

Давление снаружи пузырька на его поверхности равно сумме давлений в падающей и рассеянной волне, т. е.

(изменением поля падающей волны вдоль диаметра пузырька можно пренебречь). Радиальная скорость пульсаций пузырька равна (радиальной скоростью, вызванной падающей волной, можно также пренебречь). Таким образом, сопротивление на границе пузырька снаружи его равно

Приравнивая оба выражения для сопротивления, полагая приближенно и делая простые преобразования, получим

Для объемной скорости получилось выражение, аналогичное резонансной формуле для осциллятора с добротностью При амплитуде падающей волны, равной величину объемной скорости будет достаточно умножить на

Теперь мы можем исследовать законы рассеяния звука пузырьком при любых соотношениях между частотой падающего звука и собственной частотой пузырька, пока сохраняется условие малости радиуса пузырька по сравнению с длиной волны в газе. При выполнении этого требования газ в пузырьке сжат равномерно, квазистатически.

Как и для всякого осциллятора, существенно различными оказываются три области частот: область низких частот резонансная область и область высоких частот

В низкочастотной области осциллятор управляется упругостью: присоединенной массой можно пренебречь. Это значит, что в формуле (112.3) в знаменателе можно пренебречь всеми членами, кроме первого. Это даст для объемной скорости величину и для сечения рассеяния то же значение (112.2), которое мы уже получили выше из других соображений.

В другом предельном случае — случае высоких частот, когда осциллятор управляется массой (присоединенной), а упругостью можно пренебречь, — можно опустить в знаменателе все члены,

кроме второго. Это даст для объемной скорости величину и для сечения рассеяния

— величину, от частоты не зависящую и вчетверо превосходящую площадь поперечного сечения пузырька. По отношению к несжимаемому препятствию сечение рассеяния оказывается увеличенным в раз. То же значение поперечного сечения рассеяния мы получили бы для вакуумной сферической полости в жидкости (при любой частоте). Подобные полости образуются при кавитации: они лишены воздуха и давление в них не превосходит малой величины давления насыщающих паров жидкости.

Рассмотрим, наконец, резонансную область частот, когда близко к При точном резонансе движение пузырька управляется только потерями энергии на излучение при колебаниях. В знаменателе (112.3) остается только последний член. Это дает откуда

т. е. площадь круга радиуса Это сечение больше поперечного сечения пузырька в раз. Например, для резонансных пузырьков, находящихся в воде при атмосферном давлении (неглубоко под поверхностью воды), имеем: По отношению к сечению рассеяния несжимаемой сферы получается увеличение в раз. Для воздушного пузырька вблизи свободной поверхности воды это означает увеличение сечения рассеяния на 12 порядков. Отношение амплитуд давлений в резонансном пузырьке и в первичной волне равно для пузырька вблизи поверхности Для плоской первичной волны соответственное отношение скорости поверхности пузырька и скорости частиц в падающей волне равно это дает для такого же пузырька величину —5000.

Приведенный расчет показывает, что наличие даже небольшого числа резонансных пузырьков на пути звуковой волны в воде должно приводить к значительному рассеянию звука. По мере «расстройки» пузырьков, т. е. при расхождении частоты падающей волны с резонансной частотой пузырька, эффективность пузырьков как рассеивателей быстро убывает. Полуширина резонансной кривой равна Для пузырька вблизи поверхности воды это дает примерно . При такой расстройке рассеяние уменьшается по энергии вдвое по сравнению со случаем точного совпадения частот.

Из сказанного вытекает, что если в воде (например, в море) имеются пузырьки различных размеров, то наблюдаемое на данной частоте рассеяние практически полностью будет определяться пузырьками «резонансного размера», т. е. пузырьками радиуса а (для пузырьков вблизи поверхности воды)

Пузырьки в море наблюдаются в ряде случаев: вблизи поверхности, куда они попадают при волнении вследствие обрушивания гребней волн, в глубине моря («глубоководные рассеивающие слои»), где они выделяются микроорганизмами. Наконец, плавательные пузыри рыб, расположенные в мягких тканях рыбы, также ведут себя как пузырьки в воде. На этом обстоятельстве основан один из методов поиска рыб: посылая в глубину моря короткий звуковой импульс в виде отрезка синусоиды и наблюдая вернувшийся отраженный импульс, рыбопоисковое судно, снабженное гидролокатором, может обнаружить скопление рыб с плавательным пузырем определенного размера.

Следует иметь в виду, что рассчитанная нами рассеивающая способность резонансных пузырьков сильно завышена, так как при расчете не были учтены потери механической энергии при колебаниях пузырька, всегда имеющиеся помимо излучения. Потери приводят к уменьшению резонансной амплитуды, а значит, и к уменьшению рассеяния. Как уже было сказано в § 89, имеют значение теплопроводность и другие факторы. Теплообмен, как и все остальные источники потерь механической энергии, приводит к добавлению соответственного мнимого слагаемого в знаменатель выражения для объемной скорости. Это слагаемое, как и слагаемое, соответствующее излучению, играет заметную роль вблизи резонансной частоты, т. е. как раз в условиях большого рассеяния. В результате оказывается, что на практике рассеяние резонансными пузырьками велико, но не столь велико, как можно было бы ожидать, если не учитывать, помимо рассеяния, необратимых потерь механической энергии.

Зато оказывается, что резонансные пузырьки не только рассеивают, но и поглощают энергию падающего звука, и вследствие большой амплитуды колебаний делают это довольно активно. Такого поглощения, например, достаточно, чтобы лишить звона звук чоканья бокалами, налитыми газированной водой или шампанским. В этом случае проявляется именно роль пузырьков как поглотителей звука, потому что без поглощения, при одном только рассеянии, акустическая энергия все равно оставалась бы в бокале, не уменьшаясь, и звон бы не ослабевал.

Влияние поглощения на рассеяние и подсчет самого поглощения удобно рассмотреть, исходя из баланса энергии пузырька как осциллятора с одной степенью свободы, колеблющегося в вынуждающем поле первичной волны. Уравнение баланса энергии позволяет найти другим способом и резонансную объемную скорость, и сечение рассеяния пузырька в отсутствие потерь, которое будем теперь обозначать В самом деле, пусть пузырек колеблется в установившемся режиме на своей резонансной частоте. Как известно, при вынужденных резонансных колебаниях скорость осциллятора находится в фазе с вынуждающей силой. За обобщенную скорость осциллятора примем объемную скорость пузырька; тогда обобщенной вынуждающей силой будет

давление в первичной волне. Так как сила и скорость при резонансе синфазны, то среднее значение работы силы за период равно половине произведения амплитуд силы и скорости:

С другой стороны, при установившихся колебаниях средняя энергия колебаний остается неизменной; следовательно, еслй потерь механической энергии нет, то пузырек должен всю эту получаемую от первичного поля энергию растрачивать на излучение, т. е. переводить ее в рассеянную волну. Но энергия, излучаемая пульсирующим источником с данной объемной скоростью V, равна Баланс энергии выразится так:

откуда находим объемную скорость:

что совпадает со значением объемной скорости при резонансе, полученным ранее прямым расчетом амплитуды вынужденных колебаний пузырька. Эта объемная скорость и дает сечение рассеяния

Учтем теперь, помимо излучения, необратимые потери энергии, вызываемые силами, пропорциональными скорости; таковы, например, потери вследствие вязкости и теплопроводности. Тогда баланс энергии будет выглядеть по-другому: механическая энергия, получаемая пузырьком от первичного поля, будет частично затрачиваться на излучение, а частично теряться необратимо. Если обозначить обобщенный коэффициент трения через то уравнение баланса энергии (112.6) примет вид

где первый член дает излученную, а второй — поглощенную энергию. Отсюда найдем объемную скорость пузырька:

Введем вспомогательную величину: «сечение поглощения в отсутствие рассеяния» равную отношению мощности, расходуемой на трение при резонансном колебании в несжимаемой жидкости при давлении к плотности потока энергии в плоской волне, бегущей с той же амплитудой давления в исходной среде. В несжимаемой среде амплитуда объемной скорости, согласно (112.9), равна в этом случае Следовательно, поглощаемая мощность равна ( Значит,

Подставляя в (112.9), найдем отсюда

Теперь легко найти и величины мощностей рассеяния и поглощения пузырьком:

Следовательно, сечения рассеяния и поглощения апогл равны

Суммарное сечение рассеяния и поглощения равно

или иначе

Таким образом, при наличии поглощения складываются величины, обратные сечениям рассеяния в отсутствие потерь и поглощения в отсутствие рассеяния («параллельное» сложение). Появление необратимых потерь при колебаниях пузырька всегда уменьшает полное сечение, т. е. уменьшает полную мощность, забираемую пузырьком из первичной волны. На рис. 112.1 показана зависимость относительных значений арасс, от приведенного коэффициента трения (от величины

Рис. 112.1. Безразмерные графики зависимости от коэффициента трения: а — относительного сечения рассеяния б - относительного сечения поглощения в — относительного полного сечения для резонансного пузырька.

При увеличении коэффициента трения сечение рассеяния убывает монотонно от максимального значения при до нуля при Сечение поглощения при этом сначала растет (от нуля при достигает максимума, а затем снова стремится к нулю при Максимум достигается при равенстве поглощенной и рассеянной мощности. При этом равны и сечения рассеяния и

поглощения: Требуемый коэффициент трения составляет при этом Суммарная мощность, забираемая от первичной волны при максимальном поглощении энергии, равна половине мощности, рассеиваемой резонансным пузырьком в отсутствие трения; половина забираемой мощности поглощается пузырьком и половина рассеивается.

Приведем еще некоторые формулы, связывающие сечения рассеяния и поглощения с величинами

откуда

Если в отдельности измерено либо сечение рассеяния резонансного пузырька, либо сечение поглощения, то вторую из этих величин можно найти по этим формулам.

Полное сечение выражается через или через и расс формулами