§ 124. Квадратичная поправка в плоской волне

Простейшая задача нелинейной акустики — нахождение квадратичной поправки для плоской волны. Для этого удобно пользоваться лагранжевыми координатами. Дело в том, что граница жидкости (например, свободная граница) задается фиксированным значением лагранжевой координаты независимо от того, применяем мы линеаризацию или пользуемся точными уравнениями. В эйлеровых же координатах при учете квадратичной поправки следует относить граничное условие к переменному значению координаты, учитывая смещение границы, имеющее порядок, как мы видели в § 41, как раз тех квадратичных величин в уравнениях, которыми мы раньше пренебрегали.

Напишем раньше всего точные уравнения для одномерной задачи в лагранжевых координатах. Масса элемента среды, заключенного между плоскостями равна где невозмущенная плотность среды. Давления на плоскостях, ограничивающих элемент, равны соответственно значит, результирующая сила, действующая на данный элемент, равна Обозначая смещение элемента через получим уравнение движения элемента в виде

Точное уравнение движения оказалось линейным.

Длина данного элемента, в невозмущенном состоянии равная окажется после возмущения равной Значит, закон сохранения массы выразится формулой

где плотность элемента после деформации. Это уравнение можно записать в виде

Уравнение сохранения массы оказалось нелинейным. Наконец, уравнение состояния даст (нелинейную) зависимость плотности от давления

(мы предполагаем, как обычно, что плотность среды зависит только от давления в данной точке).

Теперь напишем приближенные уравнения, разлагая точные значения звукового давления смещения и приращения плотности в ряд по степеням числа Маха (или другой величины, пропорциональной числу Маха) и ограничиваясь членами первого порядка (линейное приближение) и второго порядка (квадратичная поправка). Величинами третьего порядка здесь и ниже будем пренебрегать. Линейные величины будем

обозначать одним штрихом, а квадратичные — двумя. Очевидно, уравнения можно будет написать отдельно для линейных и отдельно для квадратичных величин.

Итак, пусть

В уравнении состояния напишем изменение плотности в виде ряда по степеням давления и, опуская члены третьего порядка, ограничимся первыми двумя слагаемыми:

Производные следует брать в точке , так что здесь — Таким образом,

Подставляя (124.3) и (124.4) в уравнения (124.1) и (124.2), разделяя в этих уравнениях члены первого и второго порядков и опуская члены высших порядков, найдем следующие полные системы уравнений для величин первого и второго порядков:

Удобно привести каждую из систем к одному уравнению, исключая две из величин и оставляя только одну из них. Так, одно уравнение для давления получим, дифференцируя в каждой из систем (124.6) и (124.7) первое уравнение один раз по координате, второе и третье — дважды по времени и вычитая первое из суммы последних. Для давления первого порядка

получится обычное волновое уравнение в одном измерении, написанное в лагранжевых координатах:

Для давления второго порядка придем, пользуясь также последним уравнением (124.6), к уравнению

где так называемый коэффициент нелинейности равен

Заметим, что при линеаризации можно было не делать различия между записью в лагранжевых и в эйлеровых координатах и, например, не различать решения в виде бегущей волны вида соответственно. Но теперь, когда нас интересует и второй порядок величин, различие следует учитывать и, переходя от лагранжевых к эйлеровым координатам, нельзя в выражении для волны просто заменить а на х, а необходимо еще ввести поправку второго порядка. Конечно, выбор в качестве первого приближения решения волнового уравнения, написанного в лагранжевых координатах, не обязателен; за первое приближение можно принять (в случае бегущей волны) не Но соответственно пришлось бы изменить и квадратичную поправку; сумма поправочного члена с линейным решением должна в обоих случаях дать одну и ту же величину с точностью до членов высшего порядка малости.

Так как лагранжева и эйлерова координаты частиц связаны соотношением

то волну первого порядка, заданную в лагранжевых координатах, можно с точностью до второго порядка малости выразить следующим образом в эйлеровых координатах:

Обратно, волна, заданная в эйлеровых координатах, выразится в лагранжевых координатах так:

Для бегущих волн полученные формулы преобразования координат можно записать в следующем виде.

(страница пропущена)

нения. Именно, правая часть соответствует сторонним источникам звука с объемными скоростями, распределенными с плотностью

Поэтому можно заменить задачу о нахождении нелинейной квадратичной поправки линейной задачей о поле монопольных источников, распределенных по закону (124.13).

В некоторых случаях ставится задача о нахождении квадратичной поправки не к давлению, а к смещению частиц или к степени сжатия среды. Соответственные уравнения можно получить по-прежнему из полной системы уравнений (124.6) и (124.7), исключая соответственно величины или величины и В результате получаются следующие уравнения первого и второго порядков:

для смещения

для приращения плотности