§ 88. Сопротивление среды в сферической волне. Присоединенная масса

Введем для сферически-симметричной волны понятие сопротивления среды, аналогичное этому понятию для плоской волны: отношение давления к скорости частиц. Мы видели, что для плоских волн любой формы сопротивление среды не зависит от времени и равно Для сферических волн отношение давления к скорости вообще зависит от времени. Поэтому понятие сопротивления среды можно ввести только для гармонических волн, для которых зависимость от времени одинакова для давления и для скорости и поэтому выпадает.

Согласно (85.1) и (85.2) для расходящейся гармонической сферически-симметричной волны сопротивление среды равно

Рис. 88.1. Вещественная и мнимая (с обратным знаком) части относительного сопротивления среды в сферически-симметричной волне.

В отличие от плоской волны, сопротивление оказывается комплексным и зависящим от расстояния до центра волны и от частоты. Мнимая часть сопротивления отрицательна, т. е. имеет характер массового сопротивления. На рис. 88.1 даны зависимости от При малых значениях мнимая часть зависит от линейно, затем рост мнимой части замедляется, достигает максимума (равного при а затем убывает, асимптотически стремясь к нулю по мере возрастания Вещественная часть со- противления по модулю относится к мнимой как при малых она имеет порядок и мала по сравнению с мнимой частью, а при стремится к При вещественная и мнимая части сопротивления равны по модулю. Асимптотическое поведение сопротивления делается понятным, если учесть, что увеличение равносильно удалению на бесконечность, где сферическая волна делается похожей на плоскую.

Сопротивление, испытываемое со стороны среды поверхностью сферы малого радиуса , равно приближенно

Вещественная часть сопротивления мала по сравнению с мнимой, а эта последняя имеет массовый характер и в данном приближении совпадает с реакцией — которую оказывала бы несжимаемая жидкость той же плотности. Действие реактивной

части сопротивления в отсутствие среды можно имитировать, распределяя равномерно на поверхности сферы массу с поверхностной плотностью Суммарная масса для всей сферы составит тогда что равно массе среды в тройном объеме сферы. Эту массу называют присоединенной массой сферы.

Присоединенная масса не зависит от частоты. Фактическая реактивная часть сопротивления в сжимаемой среде меньше сопротивления присоединенной массы в отношении Модуль полного сопротивления среды в сжимаемой среде меньше сопротивления присоединенной массы в [ Раз (поправки относятся к случаю .

Для монополя, осуществленного в виде малой пульсирующей сферы, расчет сил, необходимых для создания заданной объемной «скорости, можно вести, исходя из величины присоединенной массы, как если бы среда была несжимаемой. Различие фаз сопротивления для сжимаемой и несжимаемой среды тоже мало; однако, как мы уже говорили, это малое различие играет принципиальную роль в вопросе об излучении звука.