§ 143. Отражение и прохождение звука на границе жидкости и твердой среды

Теперь рассмотрим отражение и прохождение волн на плоской границе между твердым телом и жидкостью или другим твердым телом. Эта задача аналогична задаче Френеля об отражении и прохождении на границе двух жидких сред, с той разницей, что при каждом отражении и прохождении в твердой среде будет возникать в общем случае по две волны (одна продольная и одна поперечная), а не по одной.

Будем считать, что отражение и прохождение правильные. Для волн произвольной формы это накладывает ограничение на угол скольжения падающей волны: он должен быть докритическим для всех отраженных и прошедших волн. В этом случае обычным способом найдем формулы Френеля — формулы для коэффициентов отражения и прохождения всех возникающих волн. При падении под закритическим углом волна вообще меняет свою форму при отражении и прохождении; в этом случае сохраняют свою форму только гармонические волны и для них имеют место те же формулы Френеля, что и для докритических углов, но коэффициенты отражения делаются вообще комплексными, а сами отраженные и прошедшие волны — неоднородными.

Пусть волна падает из жидкости на твердое тело. Это задача важная, например, для гидроакустики (отражение от грунта), иммерсионной дефектоскопии и т. п. В этой задаче удобно задать волны в жидкости не в виде поля давления, а через потенциал смещений, как и в твердом теле. Давление и смещение частиц в жидкости выразятся через потенциал смещений Ф так:

Пусть падающая волна задана в жидкости своим потенциалом смещения

Тогда полный потенциал в жидкости и скалярный и векторный потенциалы прошедших волн в твердом теле можно записать в следующем виде:

здесь коэффициенты прохождения; помимо обозначений предыдущего параграфа, принято еще обозначение для -компоненты медленности звука в жидкости и обозначение для коэффициента отражения звука в жидкости.

Обозначая угол скольжения волны в жидкости через , получим соотношения:

где показатели преломления продольных и поперечных волн в твердом теле относительно жидкости.

Условия на границе заключаются в равенстве нормальных смещений в жидкости и в твердом теле, в равенстве нормальных напряжений (нормальное напряжение в твердом теле должно быть равно давлению в жидкости, взятому с обратным знаком) и в обращении в нуль касательного напряжения в твердом теле. Граничные условия можно записать в виде

Решая эти уравнения относительно коэффициента отражения и коэффициентов прохождения продольных и поперечных волн и обозначая отношение плотностей твердого тела и воды через найдем формулы Френеля в виде

Здесь введено обозначение формулы для видно, что входное сопротивление упругого полупространства равно

Пользуясь (143.3), перепишем последние формулы так, чтобы в них входил, помимо коэффициентов преломления и

отношения плотностей только. угол скольжения падающей волны

где введены обозначения

Проследим, как меняются коэффициенты отражения и прохождения при изменении угла скольжения падающей волны. При нормальном получаем

а это те же формулы Френеля для потенциалов отраженной и прошедшей волн при нормальном падении на границу двух жидких сред с теми же плотностями и скоростями продольных волн. Скорость сдвиговых волн в данном случае роли не играет, и поперечные волны не возникают, как, впрочем, видно и из симметрии задачи. При скользящем падении находим При стремлении угла скольжения падающей волны к нулю суммарное поле стремится к нулю в обеих средах, также аналогично тому, что мы нашли для границы двух различных жидкостей.

При изменении угла скольжения падающей волны возможно обращение в нуль коэффициента отражения самом деле, при коэффициент отражения положителен при и отрицателен при , причем все время сохраняет вещественные значения. Значит, при каком-то промежуточном угле падения коэффициент отражения обращается в нуль. Аналогично, при коэффициент отражения отрицателен при нормальном падении и стремится к при приближении к критическому углу по отношению к продольным волнам, также оставаясь вещественным. Значит, при каком-то угле скольжения коэффициент отражения и в этом случае обратится в нуль. Таким образом, условия возможности нулевого отражения при падении волны на твердую среду совпадают с соответственными условиями для двух жидкостей. Скорость сдвиговых волн в твердом теле сказывается только на величине угла скольжения, при котором

отражение обращается в нуль. Прошедшее поле, несущее в этом случае всю энергию падающего, состоит и из продольной, и из поперечной волны.

Коэффициент прохождения продольной волны обращается в нуль при т. е. при угле скольжения нреломленной поперечной волны, равном 45°. Угол скольжения падающей волны равен при этом и всегда меньше критического угла скольжения для продольных волн, так что в нуль обращается амплитуда продольной волны, уже успевшей обратиться в неоднородную по мере уменьшения угла скольжения.

Может обратиться в нуль и коэффициент прохождения поперечной волны: это происходит при критическом угле скольжения для продольной волны. При этом угле скольжения коэффициент отражения равен единице, а продольная волна в твердом теле — плоская волна, бегущая вдоль границы.

Совершенно аналогичным способом можно выполнить расчеты и для задачи о падении продольной или поперечной волны в твердом теле на границу его с жидкостью.