§ 122. Плоская бегущая волна конечной амплитуды (точное решение)

Приведем точное решение задачи о плоской бегущей волне конечной амплитуды. В отличие от линеаризованной задачи, профиль волны конечной амплитуды изменяется при распространении. Поэтому для такой волны неприменимо понятие скорости волны, в котором профиль волны считается перемещающимся как твердое тело. Оказывается, однако, что каждая точка профиля бегущей плоской волны, т. е. место с определенным значением звукового давления, перемещается при распространении волны с постоянной скоростью; при этом скорость различна для разных значений давления — тем больше, чем больше давление. Найдем, какова эта скорость для разных значений давления; тогда сможем найти, как меняется профиль волны по мере распространения.

Пусть в данный момент форма профиля волны конечной амплитуды задана. Будем рассматривать каждый участок профиля как малое возмущение, наложенное на среду, находящуюся при некотором звуковом давлении (среднее давление на рассматриваемом участке) и имеющую в целом некоторую скорость (средняя скорость частиц на участке) относительно невозмущенной среды. Сами эти средние давления и скорости частиц меняются от участка к участку.

На данном участке скорость малых возмущений относительно среды равна где производная взята для значения соответствующего среднему состоянию среды на данном участке (а не невозмущенному состоянию, как в линейной акустике). Так как это малое возмущение переносится средой со скоростью то суммарная скорость возмущения относительно невозмущенной среды (это и есть скорость точки профиля, в которой давление имеет данное значение) равна с Величина с зависит только

от давления в данном месте. Покажем, что в бегущей волне скорость частиц также зависит только от давления.

В самом деле, рассмотрим малое возмущение в виде бегущей волны, наложенное на бегущую в ту же сторону волну конечной амплитуды. Давление и скорость частиц у этого малого возмущения (добавляющиеся к средним значениям в исходной волне конечной амплитуды) должны быть связаны соотношением Но рис зависят только от давления Значит, приращения о можно считать дифференциалами полного давления и полной скорости частиц в волне конечной амплитуды: откуда, интегрируя, найдем

Таким образом, бегущую волну конечной амплитуды можно записать в виде

где являются функциями самого давления Это — обобщение решения для волн бесконечно малой амплитуды, распространенное на волны конечной амплитуды. Очевидно, скорость частиц выразится аналогичной формулой

Конкретная зависимость от давления определяется свойствами среды (уравнением состояния). Найдем соответственные выражения для идеального газа. Так как волна распространяется практически адиабатически, то уравнение состояния можно записать в виде

где давление и плотность невозмущенной среды Скорость с малого возмущения при среднем давлении среды определится из уравнения

откуда

где скорость малых возмущений относительна невозмущенной среды при давлении

Скорость мадах возмущений оказалась зависящей Г от уже имеющегося давления, что на первый взгляд противоречит

результату § 14 о независимости скорости звука от давления газа, Дело в том, что в § 14 газ рассматривался при разном давлении, но при одной и той же температуре. Здесь же, в волне, газ оказывается сжатым адиабатически и его температура, а вместе с тем и скорость малых возмущений растет с давлением.

Выполним в интеграле (122.1) замену переменной интегрирования, принимая за новую переменную скорость малого возмущения с. Из (122.3) имеем:

Подставляя в (122.1), найдем

откуда Это есть скорость малого возмущения, распространяющегося поверх волны конечной амплитуды, имеющей в данной точке звуковое давление -Скорость же ординаты профиля с этим давлением равна, согласно сказанному выше,

Таким образом, профиль волны конечной амплитуды в идеальном газе изменяетсяпри распространении волны по закону

Зная зависимость от можем строить изменяющийся профиль волны по мере ее распространения. Каждая точка профиля переносится за время на расстояние (для идеального газа — на расстояние Построение нового профиля по старому показано на рис. 122.1. Профиль меняется так, что участки с большим давлением обгоняют участки с меньшим давлением. Отсюда следует, в частности, что приведенный выше расчет не может применяться неограниченно: крутизна переднего склона фронта будет все время нарастать, и, как показывает рис. 122.1, если продолжать построение, то получится неоднозначность давления вблизи переднего фронта волны.

В действительности, конечно, неоднозначности не получается; образуется скачок давления на переднем фронте. Начиная с этого момента обычные уравнения гидродинамики идеальной жидкости

делаются неприменимыми: необходимо учитывать поглощение, особенно большое вблизи фронта ввиду больших градиентов скорости и температуры. При больших числах Маха и этого оказывается недостаточно и приходится переходить к молекулярнокинетическим представлениям. В газе ширина области скачка, где неприменимы уравнения гидродинамики, оказывается для больших чисел Маха по порядку величины равной длине свободного пробега молекул. Скачок вызывает большое поглощение акустической энергии, приводящее к быстрому затуханию волны после образования скачка.

Рис. 122.1. Последовательные «моментальные фотографии» профиля волны, бегущей вправо. Форма в невозможна: еще до ее наступления в месте, где возникла бы двухзначность давления, образуется вертикальный фронт, что соответствует скачку давления — разрыву непрерывности давления.

Выражение (122.2) можно представить в виде

где при величину в круглых скобках можно считать пропорциональной числу Маха. Разложим это выражение в ряд по степеням и ограничимся первыми двумя членами:

(частные производные будем обозначать в этой главе соответственными индексами). Волна конечной амплитуды оказывается в этом приближении представленной в виде суммы двух членов: волны малой амплитуды с формой профиля, соответствующей начальному моменту времени (относительная амплитуда равна числу Маха) и распространяющейся по законам линейной акустики, и добавочной волны с амплитудой, пропорциональной квадрату числа Маха:

Этот добавочный член называют поэтому квадратичной поправкой к члену первого порядка — решению линеаризованного уравнения. Квадратичная поправка является в данном случае вековым членом в решении: она нарастает пропорционально прошедшему времени. Пока квадратичная поправка мала, она достаточна хорошо представляет изменение профиля волны конечной амплитуды. Ясно, что данное решение в виде суммы линейного решения и квадратичной лоправки может годиться только на начальном

этапе распространения волны: рост векового члена приведет к тому, что выбранное приближение станет с течением времени неприменимым.

Квадратичную добавку удобно переписать иначе. Для малых чисел Маха приближенно

Следовательно, с принятой степенью точности

Нуль в индексе при производных означает, что производные берутся в точке