§ 18. Гармонические плоские волны. Стоячие волны

Рассмотрим вкратце свойства одного из важнейших типов плоских волн: гармонических плоских волн, в которых давление зависит синусоидально от времени и координаты (в гл. III гармонические волны рассмотрим более подробно). Мы видели в § 5, что гармоническую плоскую волну, бегущую вдоль оси х, можно записать в виде

При соответственном выборе начала отсчета времени (или координаты) начальную фазу можно обратить в нуль. Часто удобна запись, в которой начальная фаза равна 0 или

Фронты гармонических волн — это поверхности равных фаз. Для сред, подчиняющихся волновому уравнению, скорость гармонической волны не зависит от частоты и равна скорости любой плоской волны. В более сложных случаях фазовая скорость

оказывается различной для волн разной частоты (или длины волны), а негармонические волны своей формы не сохраняют и поэтому к ним понятие скорости неприменимо. Две гармонические плоские волны одинаковой частоты и равных амплитуд, бегущие навстречу друг другу, образуют стоячую волну:

Узловые плоскости для давления отстоят друг от друга на половину длйны волныи разделяют участки среды, в каждом из которых колебания давления синфазны; в смежных участках колебания давления противофазны. Скорость частиц в стоячей волне выражается формулой

Рис. 18.1. Суперпозиция двух плоских гармонических волн равной частоты и одинаковой амплитуды, бегущих под углом друг к другу. Линии а — узловые плоскости для давления, линии узловые плоскости для z-компоненты скорости частиц. Вдоль оси х бежит синусоидальная волна с волновым числом .

Узловые плоскости для скорости частиц делят участки с синфазными колебаниями давления пополам и разделяют участки длиной в половину волны, в каждом из которых скорости синфазны, в то время как в смежных участках — противофазны. Узловые плоскости давления совпадают с пучностями скорости и наоборот. Временная зависимость скорости частиц сдвинута относительно временной зависимости давления на четверть периода; пространственные зависимости скорости частиц и давления сдвинуты на четверть длины волны друг относительно друга.

Бегущую гармоническую плоскую волну можно записать в виде

где волновой вектор, равный по модулю волновому числу и направленный вдоль вектора медленности волны: . В координатной форме такая плоская гармоническая волна имеет вид

где у — углы волнового вектора с осями координат.

Две плоские гармонические волны равной частоты и одинаковой амплитуды, бегущие под углом друг к другу, образуют

интерференционную картину, бегущую в одном направлении и стоячую — в другом. Примем биссектрису между волновыми векторами этих волн за ось х, а биссектрису смежного угла — за ось z (рис. 18.1). В такой системе координат эти волны можно записать в виде

где 0 — половина угла между волновыми векторами обеих волн. Суперпозиция этих волн образует интерференционную картину:

Эту суперпозицию можно рассматривать как волну, стоячую по оси и бегущую без изменения формы вдоль оси х. Фронты этой волны перпендикулярны к оси х, а распределение давлений, скоростей частиц и т. п. вдоль фронта неравномерно. Этой неравномерностью такая волна отличается от одномерной бегущей волны.

Фазовая скорость волны в направлении оси х равна и всегда больше скорости плоской волны в среде.

В волне есть узловые плоскости для давления и для -компонент скорости частиц. Эти плоскости перпендикулярны к оси и совпадают с плоскостями соответственно. С любыми двумя плоскостями первой группы можно совместить две абсолютно жесткие стенки, не меняя движения среды между стенками. Аналогично можно разместить на любых двух плоскостях второй группы абсолютно мягкие стенки, также не нарушая движения. Наконец, совместив с одной из плоскостей первой группы абсолютно жесткую, а с одной из плоскостей второй группы — абсолютно мягкую стенку, также не нарушим движения среды между стенками.

Таким образом, мы нашли некоторые типы волн, которые могут бежать, не меняя формы, между двумя идеальными (абсолютно жесткими или абсолютно мягкими) стенками. Такой тип распространения называют волноводным. Подробно рассмотрим его в гл. VIII.