§ 102. Присоединенная масса диполя. Сила диполя

Найдем, с какой силой нужно действовать на безмассовую сферу данного радиуса а, чтобы сообщать ей данную скорость и. Требуемая сила — это взятая с обратным знаком реакция среды на движущуюся сферу, и ее можно найти непосредственно, интегрируя давление, создаваемое сферой, по всей ее поверхности. Преобразуя (101.4), найдем давление на поверхности сферы в виде

Вследствие симметрии поля достаточно учитывать только составляющую сил давления вдоль оси диполя: перпендикулярные к оси симметрии компоненты сил давления взаимно уничтожаются. Искомая сила, с которой сфера действует на среду, найдется по формуле

где интегрирование распространено на всю поверхность сферы. Реакция среды на сферу равна, очевидно, .

Поскольку давление одинаково во всех точках одной параллели в качестве элемента интегрирования можно взять полоску между двумя близкими параллелями, считая переменной интегрирования полярный угол. Площадь такой полоски равна Следовательно, результирующая сила есть

Отсюда находим механический импеданс безмассовой сферы, погруженной в жидкость:

Импеданс оказался комплексным: сила по фазе отличается от скорости. Реактивная часть импеданса отрицательна и, следовательно, импеданс имеет массовый характер. Соотношение между реактивной и активной частью импеданса зависит от соотношения между радиусом сферы и длиной волны звука, т.е. от величины

Рис. 102.1. Вещественная и мнимая части относительного импеданса сферы Максимальное значение мнимой части равно и достигается при Вещественная часть стремится к единице при

На рис. 102.1 показана зависимость реактивной и активной части величины от В предельном случае (малая длина волны) реактивная часть механического импеданса стремится к нулю, а активная часть стремится к что соответствует механическому импедансу при поршневом излучении плоской волны с поршня площади равной общей поверхности осциллирующей сферы. Напомним, что для пульсирующей сферы большого радиуса соответственная величина равнялась всей площади поверхности сферы. Различие объясняется тем, что нормальные скорости частиц на поверхности осциллирующей сферы убывают от полюсов к экватору (ср. § 97).

Практически наиболее важен противоположный предельный случай — малый радиус сферы по сравнению с длиной волны . В этом случае в самом первом приближении, пренебрегающем сжимаемостью среды,

Пока нас интересует только модуль силы, погрешностью, обусловленной отбрасыванием членов высших порядков по малой величине можно пренебрегать.

Отметим, что скорости частиц вблизи сферы практически одинаковы при наличии и при отсутствии сжимаемости, а плотность кинетической энергии вблизи сферы в сжимаемой среде велика по сравнению с плотностью потенциальной энергии (потенциальная энергия равна нулю при отсутствии сжимаемости).

Если масса сферы отлична от нуля и равна, например, то для сообщения сфере той же колебательной скорости потребуется

добавить к силе Ф еще силу, равную массе сферы, умноженной на ее ускорение, т. е. силу, сообщающую ту же скорость сфере вне среды.

Следовательно, результирующая сторонняя сила Ф, сообщающая погруженной сфере массы скорость и, должна быть равна

где плотность материала сферы.

Таким образом, в динамическом отношении погружение осциллирующей сферы в несжимаемую жидкость как бы увеличивает массу сферы на величину равную массе среды в половинном объеме сферы. Эту эффективную добавку к массе называют присоединенной массой осциллирующей сферы. Кинетическая энергия присоединенной массы, колеблющейся со скоростью и, равна, как легко проверить, кинетической энергии несжимаемой жидкости при колебании погруженной в нее сферы со скоростью и. Динамическое поведение погруженной сферы при осцилляциях таково, как если бы на нее навесили Эту присоединенную массу.

Аналогично, хотя и более сложно влияет реакция среды и на тела другой формы (см. § 106). Собственная частота колебаний груза, закрепленного на пружине, понижается при погружении груза в жидкость, и по изменению частоты можно найти присоединенную массу. Аналогично меняется частота колебаний маятника данной длины при погружении в среду. При точных определениях силы тяжести по наблюдению качаний маятника присоединенную массу воздуха приходится учитывать; по сравнению с качаниями в вакууме период колебаний маятника в воздухе увеличен.

Мы нашли силу, с которой следует действовать на малую сферу в несжимаемой среде, чтобы сообщить ей данную колебательную скорость. Учет сжимаемости, как сказано выше, почти не меняет силу. Поэтому можно найти излученное поле, пользуясь найденным значением силы для несжимаемой среды, в которой излучения нет. При помощи уравнений (100.3) и (102.4) можно выразить поле малой осциллирующей сферы через силу Ф или силу Ф:

Если плотность материала сферы равна плотности среды (так будет, если сфера образована «замороженным» участком среды), то сторонняя сила, которую будем в этом случае обозначать через равна

и поле выражается через эту силу так:

В дальнейшем будем также пользоваться тензорной записью этой формулы:

Силу будем называть силой диполя. Если сила диполя правлена вдоль оси х, то

Мы видим, что силу диполя можно считать сторонней силой, прилагаемой непосредственно к среде: малую сферу, выделенную в среде, считаем отвердевшей и к ней и прикладываем силу. Получающееся звуковое поле не зависит от размера этой сферы, а только от приложенной извне силы.

Замечательно, что выражение для поля излучения, создаваемого силой, приложенной к сфере, малой по сравнению с длиной волны, удается написать, исходя из величины силы, возникающей при движении сферы в несжимаемой среде, т. е. в среде, в которой излучения нет. Выясним, какая при этом делается погрешность. Сохраняя в (102.3) член следующего порядка малости по найдем более точные выражения для сил:

Таким образом, переход к несжимаемой среде приведет к относительной ошибке в модуле сил порядка всего (абсолютная погрешность в фазе сил получится порядка Соответственно сила диполя, создающая в несжимаемой среде скорость и, создаст при наличии сжимаемости скорость и

Малая ошибка в амплитуде всегда несущественна. Малая ошибка в фазе существенна только при подсчете излучаемой мощности: при пренебрежении малым мнимым членом получим, что сила и скорость имеют разные мнимости, что соответствует полному отсутствию излучения (см. § 104). В полученных уточненных выражениях главный член соответствует реактивной компоненте силы, а малая добавка другой мнимости — активной компоненте.

Для диполей можно поставить тот же вопрос, что был поставлен в § 93 для монополей: каково поле нескольких одновременно

работающих диполей? Как и там, необходимо раньше всего условиться: что значит неизменная работа данного диполя при наличии в среде других диполей? Мы будем считать по определению, что диполь работает неизменно, если сила диполя не изменилась. Будем считать, кроме того, что диполи «прозрачны» (ср. § 93). Тогда для полей диполей имеет место принцип суперпозиции.

Если к отвердевшей сфере приложить две силы одинаковой частоты и фазы, то сфера будет двигаться так, как если бы к ней была приложена равнодействующая обеих сил, т. е. силы диполей складываются. Если силы действуют на две разные отвердевшие сферы, то при расстоянии между сферами, малом по сравнению с длиной волны, совместное действие сил также равносильно одному диполю с силой Отсюда следует, что если в области, малой по сравнению с длиной волны, действуют синфазно сторонние силы одинаковой частоты то в результате будет создано дипольное излучение с силой результирующего диполя, равной равнодействующей всех сторонних сил Излученное поле, таким образом, равно

В частности, если сумма сил равна нулю (например, две равные и взаимно противоположные силы приложены в близких точках), то дипольное излучение отсутствует: малое остаточное излучение имеет другую характеристику направленности, чем диполь (четырехлепестковую характеристику). Легко также видеть, что по амплитуде вдали от места приложения сил остаточное поле относится к полю диполя, соответствующего одной силе как , где расстояние между точками приложения сил Это полностью аналогично тому, что амплитуда поля двух одинаковых близкорасположенных противофазных монополей относится к амплитуде одиночного монополя с той же объемной скоростью так же как .

Из сказанного следует, что можно и не «замораживать» данный малый участок среды, к которому приложена данная сила. Конечно, движение отвердевшего участка отличается от движения жидкого участка, к которому приложены те же сторонние силы: жидкий участокдеформируется под действием сил, а твердое тело сохраняет свою форму и движется как целое. Тем не менее дипольное излучение в обоих случаях одинаково: действительно, замораживание участка жидкости равносильно добавлению сил упругости, препятствующих относительному перемещению частиц данного участка. Но силы упругости — это внутренние по отношению к участку силы, а равнодействующая внутренних сил всегда равна нулю. Несущественна также и форма (малого) участка, по которому распределена сила. Во всех случаях излученное поле определится формулой (102.6); в частности, ось диполя направлена по равнодействующей сил.

Если же сторонние силы приложены не к самой среде, а к погруженному в нее телу другой плотности, чем среда, то эта сила не будет равна силе диполя и картина излучения будет другой и будет зависеть от того, является ли тело твердым, а если нет, — то от характера распределения сил по телу. Этот вопрос рассмотрим в § 106.

Интересный пример суперпозиции двух прямо противоположных диполей — излучение камертона. В силу симметрии колебаний ножек камертона результирующая сила, действующая с их стороны на воздух, равна нулю. Поэтому равно нулю и дипольное излучение. Слышен только остаточный слабый звук. Поворачивая камертон вокруг его оси, легко заметить, что характеристика направленности остаточного излучения имеет четыре максимума. Таккак остаточное излучение мало, колебательная энергия ножек расходуется медленно и камертон звучит долго.

Другой интересный пример — акустическое поведение корабля, качающегося на волнении. Центр тяжести корабля при вертикальной качке то поднимается, то опускается. Следовательно, на него действует вертикальная сила со стороны воды, а по закону действия и противодействия он действует на воду с равной противоположной силой. На первый взгляд эта стороння» по отношению к воде сила должна вызывать излучение дипольного типа в воде, происходящее с частотой вертикальной качки корабля. В действительности, однако, такое дипольное излучение корабля полностью отсутствует. Дело в том, что морское волнение само по себе не создает излучения звука в воду (см. § 33). Корабль же отличается, с акустической точки зрения, от вытесненного объема воды только неизменностью своей формы (тем, что корпус корабля — твердое тело). Механически форма поддерживается силами упру- гости корпуса, т. е. внутренними силами. «Замораживая» вытесненный объем воды, мы пришли бы к той же акустической ситуации. Но в этом случае, по сравнению с водой в отсутствие корабля, добавились бы только силы, в сумме дающие нуль, а они дипольного излучения не создают.