§ 26. Сохранение формы бегущих гармонических плоских волн. Дисперсионное уравнение

В средах, подчиняющихся волновому уравнению, плоская волна любой формы распространяется без искажения. В других средах этим свойством обладают только гармонические плоские волны. Единственное условие, налагаемое при этом на среду, —

это ее линейность: в среде должен быть справедлив принцип суперпозиции, и, кроме того, если в среде может распространяться какая-либо волна, то волна, отличающаяся только множителем при давлении, скорости частиц и т. п., также может распространяться в данной среде. Уравнение, которому подчиняется, например, давление в такой среде, можно записать в виде

где — линейный однородный оператор (например, для сред, подчиняющихся волновому уравнению,

Докажем свойство сохранения формы гармоническими волнами произвольной частоты или произвольной длины волны для такой среды. Для этого нужно доказать, что в числе решений уравнения (26.1) есть, волны вида

для любой длины волны (и соответственной частоты) или для любой частоты (и соответственной длины волны).

Пусть оператор переводит некоторую функцию в некоторую функцию а:

Если то соответственная функция представляет собой свободную волну в среде. Возьмем в виде (26.2) и, подставив в (26.3), продифференцируем обе части этого равенства по времени. В силу линейности и однородности оператора дифференцирование и действие оператора можно переставлять между собой, так что

Таким образом, откуда следует

где от времени уже не зависит, но вообще зависит от Подставляя это выражение в (26.3), получим уравнение, в котором временные зависимости отсутствуют и содержащее частоту как параметр. Например, для волнового уравнения получится уравнение Гельмгольца относительно амплитуд колебаний в разных точках. Далее, дифференцируя (26.3) по координатам, найдем снова в силу тех же свойств оператора

Отсюда следует, что можно представить в виде

где может зависеть, помимо , только от коэффициентов оператора.

При произвольных функция конечно, не представит волну, которая могла бы распространяться в данной среде, так как вообще эта функция не является решением уравнения (26.1). Но если выбрать со и к так, чтобы выполнилось условие

то будет и и для такой комбинации со и уравнение (26.1) будет удовлетворено: соответственная монохроматическая волна в среде сможет распространяться как свободная. Вообще каждому значению <о будет соответствовать решение уравнения (26.4) относительно к и каждому значению будет соответствовать решение уравнения (26.4) относительно частоты . Для изотропной среды это уравнение может содержать только модуль волнового вектора, так что уравнение можно привести к виду

Уравнение (26.5) называют дисперсионным уравнением для данной среды. Например, дисперсионное уравнение, соответствующее волновому уравнению (16.1), есть

где с — постоянная. Дисперсия в средах, описываемых волновым уравнением, таким образом, отсутствует: фазовая скорость гармонической волны любой длины есть с.

Пример дисперсионного распространения дают изгибные волны на стержне. Как известно из курса сопротивления материалов, уравнение для поперечного смещения стержня при малых колебаниях можно записать в виде

где коэффициент изгибной жесткости. Отсюда, подставляя решение вида найдем дисперсионное уравнение изгибных волн в виде

(в § 7 мы применили другой способ нахождения этого дисперсионного уравнения). Зависимость фазовой скорости от частоты или волнового числа имеет вид

Еще пример — морские волны на поверхности воды («гравитационные волны»). Как известно из гидродинамики, на поверхности несжимаемой жидкости, находящейся в поле силы тяжести,

могут распространяться поверхностные волны. Потенциал скорости таких волн удовлетворяет уравнениям

Первое из этих уравнений — условие несжимаемости среды, второе — уравнение движения поверхностной волны. Поверхностную волну можно найти в виде Подставляя это выражение, автоматически удовлетворяющее требованию несжимаемости среды, в уравнение движения, найдем дисперсионное уравнение в виде

Скорость поверхностных волн зависит от частоты или волнового числа по закону

что, в отличие от изгибных волн на стержне, соответствует нормальной дисперсии.

Спектральный подход к решению задач акустики требует нахождения всех монохроматических волн, способных распространяться в данной среде. В принципе это можно сделать, решая дисперсионное уравнение относительно <в или относительно (фактически такое решение может оказаться очень трудным). Если решение получено, т. е. известно или то фазовая скорость получается в виде или как функция либо частоты, либо волнового числа. Вообще для любого линейного уравнения для волн всегда имеет место дисперсия: случай волнового уравнения, когда дисперсия отсутствует, — исключение, но исключение очень важное: это, как мы видели, уравнение волн в свободной неограниченной среде.

В акустике встречаются два принципиально различных типа дисперсии. Один тип обусловлен физическими свойствами среды: зависимостью упругих напряжений не только от деформаций, но и от скорости изменения деформации. В плоской звуковой волне в неограниченной среде возможен только этот тип дисперсии. Он всегда сопровождается поглощением звуковой энергии. Классические примеры таких сред — лед, При малой скорости деформирования возникающие упругие силы малы, и за достаточно долгое время эти тела могут растекаться подобно жидкостям под действием собственного веса. Но при резком ударе возникающие силы — такие же, как в обычных твердых телах: кусок льда или вара разбивается при таком ударе на осколки. Поэтому в таких телах при разной частоте колебаний скорость волн различна: с ростом частоты всегда растут и упругие силы,

скорость звука увеличивается (аномальная дисперсия). Опыт показал, что такой дисперсией обладает также ряд жидкостей и многоатомные газы. «Область дисперсии», т. е. частотный диапазон, в котором зависимость упругости от частоты заметна, меняется в различных веществах от долей герца до тысяч мегагерц. Более подробно этот тип дисперсии рассмотрен в гл. XII.

Другой тип дисперсии обусловлен границами среды, в которой распространяется волна, и не зависит от свойств среды. Этот тип с поглощением звука не связан и целиком определяется кинематикой волнового движения в ограниченной среде. Такова, например, рассчитанная выше дисперсия скорости изгибных волн в стержне. Физическая картина дисперсии для изгибных волн заключается в том, что коэффициент упругости стержня растет при уменьшении длины изгибаемого участка; поэтому с уменьшением длины волны, т. е. с увеличением частоты, скорость волн растет. Дисперсия наблюдается и при распространении волн в жидких средах, заключенных в трубах, и т. д. Более подробно эти вопросы рассмотрены в гл. VIII.