§ 13. Полная система акустических уравнений и ее упрощение (линеаризация). Особенность картины сплошной среды в акустике

Полная система уравнений гидродинамики удовлетворяется при любых движениях жидкости; значит, звуковые волны также удовлетворяет этим уравнениям. Это — точные уравнения. Но акустика интересуется только малыми колебаниями среды, и поэтому точность уравнений гидродинамики в акустике — это не только лишнее, но даже и вредное обстоятельство, поскольку оно связано с большой сложностью этих уравнений, в частности с их нелинейностью. Так как в дальнейшем мы будем интересоваться только звуковыми волнами малых амплитуд, то эти уравнения можно заменить более простыми приближенными уравнениями, решения которых будут тем не менее мало отличаться от решений точных уравнений. Особенно важно, что упрощение позволит прийти к линейным уравнениям.

В § 9 мы по существу пользовались уже подобным упрощением, которое позволило найти в качестве приближенного решения плоские волны, бегущие без изменения формы, и определить скорость таких волн. Теперь сделаем подобные же упрощения в полной системе точных уравнений гидродинамики; именно, отбросим в них те члены, которые для звуковых волн оказываются малыми по сравнению с остальными членами. Для того чтобы можно было выполнить такое разделение различных членов, оценим раньше всего входящие в уравнения гидродинамики производные по времени и по пространству от величин, характеризующих волну (давление, скорость частиц и т. д.). Так как речь идет не о вычислениях, а об оценках производных, расчет можно делать грубо, по порядку величины. Попутно получим такую же грубую оценку применимости понятия «малые амплитуды», которой уже пользовались в § 9, а также грубую оценку отбрасываемых «малых величин» в уравнениях.

Итак, пусть Т — характерный промежуток времени для данной волны, т. е. промежуток времени, в течение которого данная величина в волне (например, давление) меняется на величину своего порядка. Тогда частную производную этой величины по времени можно оценить как отношение ее наибольшего значения к промежутку времени Т. (Частную производную какой-либо величины по времени будем в дальнейшем обозначать иногда индексом или точкой над символом дифференцируемой величины.) Для гармонической плоской волны наибольшее значение производной по времени какой-либо величины равно амплитуде самой величины, умноженной на угловую частоту . Значит, для гармонической волны за характерный промежуток времени следует принять где период волны.

Аналогично пусть характерная длина, т. е. расстояние, на котором (в среднем) данная величина меняется на величину

своего порядка. Частная производная по координате по порядку равна тогда отношению наибольшего значения дифференцируемой величины к длине Для гармонической плоской волны за характерную длину следует принять величину где — длина волны.

Пользуясь этими оценками, можем теперь сравнить между собой различные члены в точных уравнениях гидродинамики и, сохраняя только наибольшие члены, упростить эти уравнения.

Начнем с уравнения Эйлера (11.4). Для звуковых волн это избыточное давление по отношению к не входящему явно в уравнение невозмущенному давлению среды Р. Ускорение частиц представлено в (11.4) в виде суммы локального и конвективного ускорений. Согласно сказанному выше локальное ускорение по порядку величины равно где наибольшее значение скорости частиц, а конвективное ускорение также по порядку величины равно Значит, отношение конвективного ускорения к локальному равно по порядку величины Но есть путь, проходимый частицами со скоростью за характерный промежуток времени Т, т. е. по порядку и — наибольшее смещение частиц в волне. Отсюда следует, что отношение конвективного ускорения к локальному равно отношению наибольшего смещения частиц к характерному размеру волны. Таким образом, если смещения частиц малы по сравнению с характерным размером волны, , то конвективное ускорение мало по сравнению с локальным. Тогда можно пренебречь конвективным ускорением, и уравнение (11.4) примет вид

Далее, в этом уравнении плотность также есть переменная величина, отличная от плотности невозмущенной среды:

Но при акустическое сжатие по порядку величины также не более Поэтому в приближенном уравнении можно, не меняя степени точности, пренебрегать отличием фактической плотности от невозмущенного значения уравнение (13.1) принимает тогда вид (нуль в индексе для простоты записи опущен)

Уравнение (13.2) линейно относительно величин . Упрощение в том и состоит, что приближенное уравнение оказывается линейным по отношению к интересующим нас величинам. Для этого, как мы видели, достаточно отбросить в уравнении члены порядка (и высшего порядка) по отношению к сохраняемым, порядок которых принят за единицу.

Уравнение (13.2) справедливо с указанной точностью как для однородных, так и для неоднородных сред. В последнем случае невозмущенное значение плотности есть функция координат точки и (13.2) есть уравнение с коэффициентами, зависящими от координат.

Очевидно, при можно заменять полную производную любой величины, характеризующей частицу жидкости, локальной производной — частной производной по времени; выше это было сделано для скорости частиц. В этом приближении дифференциальные и интегральные (по времени и координатам) операции над величинами, характеризующими частицу, независимы и, в частности, можно менять порядок дифференцирования и интегрирования по времени и по координатам. Проинтегрируем по времени уравнение (13.2) и сделаем перестановку порядка интегрирования (по времени) и дифференцирования (по координатам):

Здесь - скорость частицы в начальный момент времени Мы видим, что, в отличие от ускорения, скорость частицы в данный момент зависит не только от распределения давления в среде в этот же момент, но и от всей истории частицы. Если в начальный момент частица покоилась, то

Для одномерного движения

Если среда однородна, то (13.3) можно записать в виде

и, следовательно, движение потенциально и потенциал скоростей есть

В свою очередь давление и скорость частиц выражаются через потенциал формулами

Теперь линеаризуем уравнение неразрывности (11.5), считая, как выше, что . В подробной записи имеем

Так как по порядку не больше то вторым членом справа можно пренебречь по сравнению с первым. Тогда придем к упрощенному уравнению

В среде с постоянной невозмущенной плотностью это дает

В дальнейшем часто будем характеризовать изменяющееся состояние среды не плотностью, а сжатием; например, (13.6) можно записать в виде

Уравнение состояния, т. е. зависимость между давлением и сжатием, также можно линеаризовать для любых сред, кроме, как мы уже говорили, сред типа порошка. Линеаризуя уравнение (11.8), получим уравнение состояния в виде

Система уравнений (13.2), (13.7), (13.8) - полная система линеаризованных уравнений акустики.

Сжимаемость можно представить в виде

причем производная берется для невозмущенного состояния среды. Мы видели в § 9, что сжимаемость связана со скоростью плоской волны в среде соотношением

так что уравнение (13.8) можно переписать в виде

Линеаризованную связь между давлением и сжатием можно рассматривать как обобщенный закон Гука для объемного сжатия среды с модулем упругости . В следующем параграфе мы найдем, как связана сжимаемость со статическими свойствами среды.

Часто удобно, исключая сжатие из (13.7) и (13.8), свести полную систему уравнений акустики к двум уравнениям. Первое из них — по-прежнему уравнение (13.2), а второе принимает вид

Любое частное решение уравнений (13.2) и (13.12) есть свободная волна в среде.

Уравнения (13.2) и (13.12) — полная система линейных общих уравнений акустики для давления и скорости частиц. Мы видим, что среды можно отличить друг от друга акустическим способом, только если их плотности или сжимаемости не одинаковы.

Во всем дальнейшем мы будем пользоваться этой полной системой, решения которой тем меньше отличаются от соответственных решений точных уравнений гидродинамики, чем меньше величина . В плоской волне критерий совпадает с критерием малости сжатия и с критерием малости числа Маха . Действительно, в плоской бегущей волне отношение равно скорости звука, и следовательно, Оба критерия совпадают по порядку во всех случаях, когда звуковое поле похоже на плоскую волну.

Но иногда требование оказывается недостаточным: число Маха и сжатие среды могут быть малыми, в то время как смещения частиц не будут малы по сравнению с характерным размером движения жидкости. Это получится, если пространственная неоднородность поля определяется не волновым характером процесса, а геометрией задачи. Таково, например, движение в сферической волне вблизи центра (расхождение волны) или протекание жидкости в трубе переменного сечения. В этих случаях масштаб пространственной неоднородности не зависит от скорости звука и сохранился бы даже при полной несжимаемости среды. При таких движениях конвективная производная может не быть малой по сравнению с локальной производной даже при малом числе Маха: поле быстро меняется в пространстве независимо от скорости временного изменения. Особенно нагляден пример установившегося протекания жидкости в трубе: локальная производная любой величины, характеризующей течение, равна нулю во всех точках, а конвективная производная отлична от нуля: критерий малости числа Маха при малой скорости течения будет выполнен, но критерий нарушится и линеаризацию уравнений произвести будет нельзя. Только требование универсально для любой формы волны и для любой сжимаемости среды.

Уравнения (13.2) и (13.12) применимы не только к однородным средам, но и ко всем средам, свойства которых изменяются от точки к точке непрерывно. В уравнении движения (13.2) важно только, какова плотность данной частицы, а плотность других частиц несущественна. Аналогично в уравнении (13.12) важна сжимаемость среды только в данной точке.

Мы установили ограничение величины возмущения сверху, позволяющее линеаризовать уравнения гидродинамики. Но в акустике появляется дополнительное ограничение величины возмущения, относящееся к применимости самого понятия сплошной непрерывной среды. Это требование ограничивает величину возмущения снизу. В самом деле, требования применимости картины непрерывной сплошной среды всегда включают масштаб движений. Одним из масштабов движения в акустике является длина волны звука. Человек ведет разговор на звуковых волнах, длина которых варьирует от 10 см до высокочастотные эхолокационные сигналы летучих мышей имеют длину волны в несколько миллиметров. По отношению к этому масштабу все среды всегда можно считать сплошными и непрерывными, за исключением только сильно разреженных газов, в которых велика длина свободного пробега молекул.

Но в акустике есть и другой пространственный масштаб: смещение частиц в волне. Обращаясь к этой величине, мы, оставаясь целиком в области классической физики, попадаем в микромир.

В самом деле, возьмем для определенности звук в воздухе при частоте, для которой слух человека наиболее чувствителен, — 2000—3000 гц. На «болевом пороге» — при воздействии мощного звука, слуховое восприятие которого сопровождается болевыми ощущениями, — смещения частиц достигают и амплитуда скорости частиц доходит до Но громкий разговор на расстоянии от говорящего человека создает колебания с амплитудой всего в сотню другую ангстрем (3—4% длины световой волны), причем скорость частицы меньше в час. Наконец, при едва слышном звуке на «пороге слышимости» молодого человека (с возрастом слух ухудшается) частицы среды колеблются с амплитудой около см и с амплитудой скорости около в год (амплитуда звукового давления бар). Заметим, впрочем, что ускорения частиц, даже при очень слабых звуках, не. так уж малы по обычным масштабам: даже на пороге слышимости ускорение частиц достигает примерно (при болевом пороге ускорение очень велико: оно доходит примерно до т. е. до

Естественно возникает вопрос: каким же образом можно воспринимать такие слабые звуки? Ведь даже обычные тепловые движения молекул в огромной стеяени превосходят движения частиц. В самом деле, на пороге слышимости смещения частиц в звуковой волне на четыре порядка меньше длины свободного пробега молекул в атмосферном воздухе, а скорость частиц на девять порядков меньше скорости молекул. Почему же тепловое движение молекул не маскирует слабых акустических движений частиц? Почему мы не слышим тепловое движение молекул?

Дело в том, что тепловое движение молекул хаотично. И хотя каждая молекула за период звука пробегает большое расстояние, в целом тепловое смещение частицы, состоящей из огромного числа

молекул, мало даже по сравнению с ничтожными звуковыми смещениями. В самом деле, для восприятия звука важно, как ведет себя в наружном звуковом канале уха воздух, соприкасающийся с барабанной перепонкой; этот объем воздуха по порядку составляет Центр тяжести такого объема совершает в звуковой волне регулярные звуковые колебания (это интересующая нас величина) и беспорядочно колеблется вследствие теплового Движения составляющих его молекул (это «помеха»). Колебание центра тяжести данного объема воздуха в результате теплового движения составляющих его молекул аналогично броуновскому движению посторонней частицы в газе. Это — результирующее движение, вызываемое огромным числом отдельных толчков. Сравнивать с акустическим движением данной частицы среды следует не движение отдельной молекулы, а именно броуновское движение этой же частицы, т. е. макроскопического объема воздуха, малого по сравнению с длиной волны звука. При этом звуковое движение частицы следует сравнивать с той частью броуновского движения, частотный спектр которой воспринимается слухом так же, как и данный звук. Это значит, что с амплитудой звукового смещения следует сравнивать броуновское смещение за один период звука.

В силу хаотичности молекулярного движения, как известно, броуновское смещение какого-либо объема газа уменьшается при увеличении числа составляющих его молекул как единица, поделенная на корень квадратный из числа молекул, а растет корень квадратный из истекшего времени. Пусть длина свободного пробега одной молекулы равна I, а среднее время между соударениями равно Тогда среднее смещение объема за время составит где число молекул в единице объема. Нас интересует смещение объема за время одного периода колебаний Т: оно будет больше полученной величины в раз и состаг Но. время между соударениями в среднем а длине свободного пробега, разделенной на скорость молекул, которую можно приближенно положить равной скорости звука в газе с. В результате получим для броуновского смешения за время, равное периоду:

Подставляя сюда округленные значения (для воздуха при нормальных условиях), получим см, что дает для частоты примерно см. Таким образом, броуновское движение еще не маскирует звук даже на пороге слышимости. Физиологический аппарат слуха ставит для человека и животных границу там, где тепловое движение частиц воздуха еще не сказывается; но «запас» совсем невелик: будь ухо на несколько порядков чувствительнее (а диапазон чувствительности уха от болевого порога до порога слышимости по мощности и так превышает

13 порядков!), оно слышало бы уже беспорядочный тепловой шум — броуновское движение воздуха у барабанной перепонки.

Теперь ясно, какова добавочная граница применимости картины сплошной среды в акустике: амплитуда звуковой волны должна быть много больше броуновского движения объема среды, малого по сравнению с длиной волны звука. Таким образом, среду нельзя считать сплошной для очень слабых звуков. Новое требование появилось потому, что в акустике встречаются с исключительно малыми смещениями среды, в то время как в обычной гидродинамике сами движения среды макроскопичны.