§ 38. Плотность энергии в звуковой волне

Указанным в предыдущем параграфе способом можно ввести (условную) плотность внутренней энергии и в звуковой волне. Для частицы, имеющей объем и испытавшей сжатие измененное давление равно относительное изменение объема равно (это - уточненное значение требуется только для расчета работы исходного давления Р), среднее давление за время сжатия равно Работа, произведенная над частицей данной массы, равна

Интегрируя по всему объему, занятому возмущением, найдем

где область интегрирования охватывает интересующий нас участок среды. Но первый интеграл справа дает просто суммарное приращение объема рассматриваемой массы газа. Если этот объем не изменился, то интеграл равен нулю. Тогда суммарная работа, совершенная над средой, окажется равной

(во втором интеграле пренебречь в знаменателе можно). Условную плотность внутренней энергии и здесь будем считать равной

Суммарная условная плотность энергии в волне есть сумма плотностей кинетической и приращения внутренней энергии:

Так как в бегущей плоской волне в каждой точке и в каждый момент времени то в такой волне в любой точке и в любой момент времени плотность кинетической энергии равна плотности внутренней энергии и суммарная плотность звуковой энергии равна

Плотность энергии в бегущей плоской волне удовлетворяет волновому уравнению. В самом деле, квадрат (и, более того, любая степень) давления в бегущей волне, как и само давление, является функцией от бинома т. е. может рассматриваться как некоторое решение одномерного волнового уравнения (для стоячей волны это утверждение неверно).

Пользуясь формулой (38.2), можно получить следующие выражения для суммарной энергии всей бегущей плоской волны в целом (в расчете на единицу площади фронта):

В первом и третьем интегралах берутся в произвольный момент времени, во втором и четвертом — в произвольной точке. Подынтегральное выражение отлично от нуля только в области, занятой возмущением (в первом и третьем интегралах), и только в тот промежуток времени, когда возмущение проходит через данную точку (во втором и четвертом интегралах).

При помощи той же исходной формулы (38.2) для плотности энергии бегущей плоской волны можно найти и выражение для плотности энергии в случае суперпозиции двух волн, бегущих по одному направлению. Так, сумма двух плоских волн бегущих в одну и ту же сторону, также есть бегущая плоская волна,

Значит, плотность энергии в ней равна

где и плотности энергии составляющих волн в отдельности.

Таким образом, плотность энергии суперпозиции двух волн, бегущих в одном и том же направлении, вообще отличается от суммы энергий составляющих: для энергий волн принцип суперпозиции несправедлив. Плотность энергии результирующего поля может быть как больше, так и меньше суммы плотностей энергий составляющих и может даже обращаться в нуль (тривиальный случай двух волн противоположного знака:

Для суперпозиции двух плоских волн бегущих навстречу друг другу, имеем

откуда

Таким образом, для плоских волн, бегущих навстречу друг другу, плотности энергии всегда складываются. В отличие от бегущей волны, в суперпозиции встречных волн (например, в стоячей волне) плотности кинетической и внутренней энергии не равны друг другу в каждой точке.

Наконец, в суперпозиции двух плоских волн, бегущих под любым углом друг к другу, давления складываются алгебраически, а скорости — векторно. Выбирая ось х в направлении распространения одной из волн и ось у — в плоскости, содержащей оба направления распространения, найдем для результирующего давления и компонент результирующей скорости частиц:

где угол между направлениями распространения обеих волн. Суммарная плотность энергии равна

В этой формуле заключены в виде частных случаев рассмотренная выше суперпозиция двух волн, бегущих в одном и том же направлении и двух волн, бегущих навстречу друг другу

Плотность звуковой энергии очень мала по обычным масштабам энергетики даже для очень громких звуков. Так, плотность энергии в звуковой волне, создаваемой при обычной речи на расстоянии от говорящего (60 дб над стандартным уровнем 0,0002 бара, т. е. звуковое давление равна примерно Фортиссимо оркестра в зале доводит плотность энергии до Таким образом, в большом концертном зале при фортиссимо оркестра суммарная звуковая энергия достигает примерно что равно работе силы тяжести приподнятии грузика на высоту

Еще меньше плотность звуковой энергии в воде: при том же давлении 0,2 бара плотность энергии составляет всего Дело в том, что, как видно из формулы (38.2), при заданном звуковом давлении плотности энергии относятся как сжимаемости сред. При одинаковом звуковом давлении плотность энергии в воде в раз меньше, чем в воздухе. Вообще (не только в звуковой волне) при одинаковом давлении упругая энергия, накапливаемая в газе, огромна по сравнению с энергией в жидкости именно потому, что газы более податливы, чем жидкости. В газе изменение объема, создающее заданное изменение давления, во много раз больше, чем в жидкости.

Интересны иллюстрации этого обстоятельства, взятые из неакустических областей. Почему применяют гидравлические, а не пневматические испытания котлов? Разрыв котла, испытываемого гидравлически, безопасен: запасенная в сжатой воде и выделившаяся при разрыве стенок энергия мала и приведет только к вытеканию небольшого количества жидкости, в то время как разрыв пневматически испытываемого котла — это настоящий взрыв (хотя и значительно менее мощный, чем взрыв котла под паром, когда происходит дополнительное выделение энергии перегретой воды). Способность накоплять большую энергию при заданном значении силы характерна для всяких упругих систем с малым модулем упругости. Этим объясняется меньшая сила толчков на неровностях пути при езде на более податливых рессорах; безопасность прыжка на согнутые ноги и опасность перелома при прыжке на выпрямленные ноги; преимущество сильно вытягивающегося перед разрывом пенькового каната при швартовке корабля по сравнению со стальным тросом, обладающим той же прочностью на разрыв, и т. д.

При одинаковой скорости частиц плотность энергии в бегущей волне пропорциональна плотности среды. Так, при одинаковой скорости частиц плотность энергии в воде в 800 раз больше, чем в воздухе.

При заданной плотности звуковой энергии давления и скорости в бегущих волнах в разных средах относятся как корни квадратные из обратных отношений сжимаемостей и плотностей соответственно.

Рассмотрим подробнее плотность энергии в гармонической волне: в гармонических волнах энергетические соотношения имеют интересные особенности. Для нахождения плотности энергии в гармонической волне запишем давление и скорость частиц в вещественном виде (экспоненциальная запись не годится, поскольку при нахождении энергии требуются квадратичные

величины):

где амплитуды давления и скорости в данной точке, а начальные фазы. Плотность энергии в данной точке выразится формулой

Плотность кинетической и внутренней энергии осциллирует между нулем и максимальными значениями Найдем среднее значение плотности энергии за один период. Так как интеграл от квадрата косинуса за период равен , то искомое среднее равно

Средняя плотность энергии за период, очевидно, равна приближенно среднему за промежуток времени, много больший периода.

Рассмотрим теперь среднюю за большой промежуток времени плотность энергии суммы двух гармонических волн разной частоты:

Мгновенная плотность энергии в данной точке выразится теперь формулой

Но среднее от произведения косинусов разных частот за большой промежуток времени стремится к нулю по мере увеличения промежутка, поэтому члены, содержащие это произведение, при усреднении можно опустить. Тогда

т. e. средние плотности энергии двух гармонических волн разной частоты аддитивны.

Очевидно, аддитивность средних плотностей энергии имеет место и для любого числа составляющих гармонических волн данного звукового поля. Так, для периодического поля средняя энергия равна сумме средних за период поля энергий его гармонических составляющих. При этом фазы компонент роли не играют: средняя энергия зависит только от амплитудного спектра данного периодического поля.

Для бегущей плоской гармонической волны плотность энергии равна, согласно (38.2),

Плотность энергии в плоской волне осциллирует от точки к точке по синусоидальному закону между нулем и значением (рис. 38.1). Средняя плотность энергии в бегущей гармонической волне как по времени, так и по пространству равна

Рис. 38.1. Мгновенное пространственное распределение плотности звуковой энергии в бегущей плоской гармонической волне.

В стоячей гармонической волне

средняя плотность энергии в любой точке (или равная ей средняя по пространству плотность энергии в любой момент времени) равна

В отличие от бегущей волны, в стоячей волне средние по времени значения кинетической и внутренней энергии не равны друг другу в каждой точке:

Кинетическая энергия достигает максимума в узлах, а внутренняя — в пучностях давления.

Аддитивность средних плотностей энергий имеет место не только для гармонических волн разных частот, но и для статистических волн при их статистической независимости. В этом случае функция корреляции давления в этих волнах, равная по определению среднему по времени значению произведения давлений, равна нулю.

Длятого чтобы энергии складывались в среднем, достаточно, чтобы обращалось в нуль среднее значение произведения давлений. Требование статистической независимости волн является достаточным, но не необходимым, как мы видели на примере двух синусоид разных частот.