Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 38. Плотность энергии в звуковой волнеУказанным в предыдущем параграфе способом можно ввести (условную) плотность внутренней энергии и в звуковой волне. Для частицы, имеющей объем
Интегрируя по всему объему, занятому возмущением, найдем
где область интегрирования
(во втором интеграле пренебречь
Суммарная условная плотность энергии в волне есть сумма плотностей кинетической и приращения внутренней энергии:
Так как в бегущей плоской волне в каждой точке и в каждый момент времени
Плотность энергии в бегущей плоской волне удовлетворяет волновому уравнению. В самом деле, квадрат (и, более того, любая степень) давления в бегущей волне, как и само давление, является функцией от бинома Пользуясь формулой (38.2), можно получить следующие выражения для суммарной энергии всей бегущей плоской волны в целом (в расчете на единицу площади фронта):
В первом и третьем интегралах При помощи той же исходной формулы (38.2) для плотности энергии бегущей плоской волны можно найти и выражение для плотности энергии в случае суперпозиции двух волн, бегущих по одному направлению. Так, сумма двух плоских волн
Значит, плотность энергии в ней равна
где Таким образом, плотность энергии суперпозиции двух волн, бегущих в одном и том же направлении, вообще отличается от суммы энергий составляющих: для энергий волн принцип суперпозиции несправедлив. Плотность энергии результирующего поля может быть как больше, так и меньше суммы плотностей энергий составляющих и может даже обращаться в нуль (тривиальный случай двух волн противоположного знака: Для суперпозиции двух плоских волн
откуда
Таким образом, для плоских волн, бегущих навстречу друг другу, плотности энергии всегда складываются. В отличие от бегущей волны, в суперпозиции встречных волн (например, в стоячей волне) плотности кинетической и внутренней энергии не равны друг другу в каждой точке. Наконец, в суперпозиции двух плоских волн, бегущих под любым углом друг к другу, давления складываются алгебраически, а скорости — векторно. Выбирая ось х в направлении распространения одной из волн и ось у — в плоскости, содержащей оба направления распространения, найдем для результирующего давления и компонент результирующей скорости частиц:
где
В этой формуле заключены в виде частных случаев рассмотренная выше суперпозиция двух волн, бегущих в одном и том же направлении Плотность звуковой энергии очень мала по обычным масштабам энергетики даже для очень громких звуков. Так, плотность энергии в звуковой волне, создаваемой при обычной речи на расстоянии Еще меньше плотность звуковой энергии в воде: при том же давлении 0,2 бара плотность энергии составляет всего Интересны иллюстрации этого обстоятельства, взятые из неакустических областей. Почему применяют гидравлические, а не пневматические испытания котлов? Разрыв котла, испытываемого гидравлически, безопасен: запасенная в сжатой воде и выделившаяся при разрыве стенок энергия мала и приведет только к вытеканию небольшого количества жидкости, в то время как разрыв пневматически испытываемого котла — это настоящий взрыв (хотя и значительно менее мощный, чем взрыв котла под паром, когда происходит дополнительное выделение энергии перегретой воды). Способность накоплять большую энергию при заданном значении силы характерна для всяких упругих систем с малым модулем упругости. Этим объясняется меньшая сила толчков на неровностях пути при езде на более податливых рессорах; безопасность прыжка на согнутые ноги и опасность перелома при прыжке на выпрямленные ноги; преимущество сильно вытягивающегося перед разрывом пенькового каната при швартовке корабля по сравнению со стальным тросом, обладающим той же прочностью на разрыв, и т. д. При одинаковой скорости частиц плотность энергии в бегущей волне пропорциональна плотности среды. Так, при одинаковой скорости частиц плотность энергии в воде в 800 раз больше, чем в воздухе. При заданной плотности звуковой энергии давления и скорости в бегущих волнах в разных средах относятся как корни квадратные из обратных отношений сжимаемостей и плотностей соответственно. Рассмотрим подробнее плотность энергии в гармонической волне: в гармонических волнах энергетические соотношения имеют интересные особенности. Для нахождения плотности энергии в гармонической волне запишем давление и скорость частиц в вещественном виде (экспоненциальная запись не годится, поскольку при нахождении энергии требуются квадратичные величины):
где
Плотность кинетической и внутренней энергии осциллирует между нулем и максимальными значениями
Средняя плотность энергии за период, очевидно, равна приближенно среднему за промежуток времени, много больший периода. Рассмотрим теперь среднюю за большой промежуток времени плотность энергии суммы двух гармонических волн разной частоты:
Мгновенная плотность энергии в данной точке выразится теперь формулой
Но среднее от произведения косинусов разных частот за большой промежуток времени стремится к нулю по мере увеличения промежутка, поэтому члены, содержащие это произведение, при усреднении можно опустить. Тогда
т. e. средние плотности энергии двух гармонических волн разной частоты аддитивны. Очевидно, аддитивность средних плотностей энергии имеет место и для любого числа составляющих гармонических волн данного звукового поля. Так, для периодического поля средняя энергия равна сумме средних за период поля энергий его гармонических составляющих. При этом фазы компонент роли не играют: средняя энергия зависит только от амплитудного спектра данного периодического поля. Для бегущей плоской гармонической волны
Плотность энергии в плоской волне осциллирует от точки к точке по синусоидальному закону между нулем и значением
Рис. 38.1. Мгновенное пространственное распределение плотности звуковой энергии в бегущей плоской гармонической волне. В стоячей гармонической волне
средняя плотность энергии в любой точке (или равная ей средняя по пространству плотность энергии в любой момент времени) равна
В отличие от бегущей волны, в стоячей волне средние по времени значения кинетической и внутренней энергии не равны друг другу в каждой точке:
Кинетическая энергия достигает максимума в узлах, а внутренняя — в пучностях давления. Аддитивность средних плотностей энергий имеет место не только для гармонических волн разных частот, но и для статистических волн при их статистической независимости. В этом случае функция корреляции давления в этих волнах, равная по определению среднему по времени значению произведения давлений, равна нулю. Длятого чтобы энергии складывались в среднем, достаточно, чтобы обращалось в нуль среднее значение произведения давлений. Требование статистической независимости волн является достаточным, но не необходимым, как мы видели на примере двух синусоид разных частот.
|
1 |
Оглавление
|