ГЛАВА XV. ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ. ТВЕРДЫЕ ВОЛНОВОДЫ

§ 142. Отражение от идеальных стенок

Отражение волн в твердых средах сложнее, чем в жидкостях: если на границу твердого тела падает одна продольная плоская волна или одна поперечная, то отражаются сразу две — и продольная и поперечная. (Исключение: падение поперечной волны, поляризованной перпендикулярно к плоскости падения; в этом случае отражается только одна волна того же типа, что и падающая.) Увеличение числа отраженных волн по сравнению с отражением в жидкости (и преобразование типов волн при отражении) связано с большим числом условий на границе твердой среды (см. § 137).

Будем рассматривать плоские волны, падающие на плоскую границу. Падающую волну будем считать либо продольной волной, либо поперечной волной с поляризацией в плоскости падения, либо поперечной волной с поляризацией, перпендикулярной к плоскости падения. Любую поперечную волну можно представить как суперпозицию волн этих двух линейных поляризаций.

Из соображений симметрии ясно, что волна с поляризацией, перпендикулярной к плоскости падения, будет отражаться и проходить из среды в среду независимо от волн остальных двух типов: так как нормальные смещения границы для такой волны, так же как и нормальное напряжение, и касательное напряжение, лежащее в плоскости падения, равны нулю, то для смещений и напряжений остается только по одному граничному условию; поэтому число волн на границе будет всегда то же, что и для случая жидких сред, и отраженная и прошедшая волны будут всегда поперечными волнами той же поляризации. Коэффициент отражения по смещению для такой волны равен +1 для свободной границы и —1 для абсолютно жесткой границы, т. е. границы, не допускающей скольжения. Легко получаются решения и для других случаев отражения и прохождения такой волны, вывод которых предоставляем читателю.

Займемся теперь более интересным случаем падения продольной волны или поперечной волны с поляризацией в плоскости падения: каждая из таких волн вызывает и волну своего типа при отражении и прохождении, и вторую волну. Задачи об отражении и прохождении волн этих двух типов будем решать стандартным способом.

Продольную волну будем записывать при помощи скалярного потенциала а поперечную — при помощи единственной не равной нулю компоненты векторного потенциала в направлении, перпендикулярном к плоскости падения. Плоскость падения примем за плоскость и ось х расположим на границе. Отличной от нуля будет -компонента векторного потенциала и, как и скалярный потенциал, она будет зависеть только от координат

Будем предполагать, что отражение и прохождение правильные. Аналогично случаю жидких сред, это будет не всегда справедливо («закритические углы»), но при нарушении правильности отражения в общем случае она сохранится для гармонических волн. Интересная особенность твердого тела по сравнению с жидкостью: в нем может иметь место нарушение правильности отражения при падении поперечной волны и при отражении от идеальной (например, свободной) границы, а не только на границе двух сред.

Рис. 142.1. Векторы медленности падающей продольной отраженной продольной и отраженной поперечной волны

Обозначим -компоненту медленности падающей волны через в силу закона Снеллиуса -компоненты всех остальных волн, возникающих в процессе отражения и прохождения, будут равны той же величине z-компоненты векторов медленности продольной и поперечной волн обозначим через и соответственно. Согласно волновым уравнениям имеют место соотношения

где медленности продольной и поперечной волн соответственно. Отсюда следует важное соотношение

Пусть на границу падает волна продольного типа (рис. 142.1). Обозначим углы скольжения продольной и поперечной волн через и 0, соответственно. Очевидно, всегда . Имеем

где через обозначено отношение медленностей поперечной и продольной волн — величина, аналогичная коэффициенту преломления. Согласно (139.6) всегда

Зададим падающую волну скалярнымпотенциалом

Вообще отразятся две волны: одна продольного и одна поперечного типа. Если отражение правильное, то можно

ввести два коэффициента отражения: для продольной и для поперечной волны. Тогда отраженную продольную волну можно записать в виде

Таким образом, суммарный скалярный потенциал равен

Единственная не равная нулю компонента векторного потенциала равна

Подставляя (142.4) и (142.5) в граничные условия, выраженные при помощи формул § 141 через потенциалы и их производные, получим уравнения для определения коэффициентов отражения.

Рассмотрим этим способом отражение волн для важнейших типов отражающих границ.

а) Свободная граница. Граничные условия в этом случае — обращение в нуль на границе напряжений Условие удовлетворяется величинами (142.4) и (142.5) автоматически. Подставляя эти величины в (141.8) и (141.9) и приравнивая напряжения нулю для значения получим граничные условия в виде

При выводе мы использовали соотношения

Решая полученную систему уравнений относительно коэффициентов отражения, найдем

При нормальном падении продольной волны имеем . При падении под другими углами 1 в нуль обратиться не может, так как всегда Мы увидим, что также не обращается в нуль ни при каком угле скольжения.

Таким образом, отраженное поле, как было сказано выше, действительно состоит из двух волн: одной — одноименной с падающей (продольной) и другой — разноименной.

Коэффициенты отражения можно выразить через импедансы продольной и поперечной волн

В самом деле, подставляя в (142.6) выражения

получим

Можно получить при помощи (142.3) формулы для коэффициентов отражения, куда войдет только угол скольжения падающей волны 0,:

Эти выражения удобны, когда требуется проследить зависимость коэффициентов отражения от угла скольжения падающей волны. При стремлении угла скольжения продольной волны к 0° коэффициент отражения продольной волны стремится к —1, а коэффициент отражения поперечной волны стремится к нулю.

б) Абсолютно жесткая граница, не допускающая скольжения. В этом случае на границе должны обращаться в нуль компоненты их, смещения частиц. Условие выполняется для полей (142.4) и (142.5) автоматически. Из формул (141.7) найдем граничные условия в виде

Решая эту систему относительно коэффициентов отражения и пользуясь (142.3), найдем

Коэффициент отражения продольной волны обращается в нуль при . В этом случае при отражении продольная волна

переходит целиком в поперечную с направлением распространения, перпендикулярным к направлению распространения падающей волны. Но тогда направления векторов смещения в падающей (продольной) и отраженной (поперечной) волне совпадают (рис. 142.2). Ясно, что при этом граничному условию можно удовлетворить, просто подбирая амплитуду и фазу смещений в поперечной волне так, чтобы они совпадали с амплитудой и фазой в падающей продольной волне. Пользуясь (142.3), получим, что угол скольжения, соответствующий полному переходу продольной волны в поперечную, равен

Этот угол скольжения можно назвать углом Брюстера, в соответствии с названием, принятым в аналогичной оптической задаче. Так как всегда то угол Брюстера всегда меньше

Рис. 142.2. При падении плоской продольной волны на жесткую стенку, не допускающую скольжений, под углом скольжения (угол Брюстера) отражается только поперечная волна.

Формулы, дающие зависимость коэффициентов отражения от угла скольжения падающей волны, имеют вид

в) Абсолютно жесткая стенка, не допускающая касательных напряжений. В этом случае на границе должны обращаться в нуль нормальное смещение и касательное напряжение Из формул (141.7) и (141.9) получим граничные условия в виде

что дает для коэффициентов отражения следующие значения:

Таким образом, поперечная волна при отражении не возникает. Картина отражения потенциала продольной волны такая же, как в жидкости при отражении от абсолютно жесткой стенки.

г) Жесткая гибкая пластинка, не допускающая касательных смешений. В этом случае на границе должны удовлетворяться условия обращения в нуль касательных смещений их и нормальных напряжений Это приводит к граничным условиям

Отсюда находим коэффициенты отражения

Поперечная волна снова не возникает, но картина такая же, как для волны в жидкости при отражении от абсолютно мягкой стенки.

Совершенно аналогично можно решить и задачу об отражении от различных границ поперечной падающей волны с поляризацией, лежащей в плоскости падения (рис. 142.3). В этом случае -компоненту векторного потенциала падающей волны выберем в виде

Рис. 142.3. Картина отражения при падении поперечной волны, поляризованной в плоскости падения.

Суммарный векторный потенциал падающей и отраженной поперечных волн и скалярный потенциал отраженной продольной волны запишем в виде

Тем же способом, что и для продольной падающей волны, решим задачи об отражении от границ типов (а), (б), (в), (г) и для падающей поперечной волны. Приведем результаты расчета коэффициентов отражения от этих случаев, обозначая теперь через отношение

Для отражения от границы типа (а):

При угле скольжения 45° коэффициент отражения продольной волны обращается в нуль, а коэффициент отражения поперечной волны станет равным При угле скольжения, меньшем критического угла правильное отражение невозможно: компонента вектора медленности продольной волны по оси оказывается мнимой. Это — случай, аналогичный полному отражению в жидкости. В этом случае приходится переходить к гармоническим волнам, для которых мнимые значения компонент волновых векторов имеют смысл: отраженная продольная волна является неоднородной гармонической волной, экспоненциально убывающей при удалении границы. Формулы для коэффициентов отражения можно сохранить и для закритических углов, считая величины равными волновым числам продольной и поперечной волны и компонентам волновых векторов по осям соответственно.

При закритическом угле скольжения волны сдвига вдали от границы будет наблюдаться только поперечная волна с амплитудой, равной единице; продольная волна будет поверхностной, бегущей вдоль границы. Вообще во всех случаях падения поперечной волны отраженная продольная волна становится неоднородной при закритическом угле скольжения. Так как всегда критический угол скольжения всегда больше 45°.

Для отражения от границы типа

Аналогично случаю падения продольной волны, при условии падающая волна переходит целиком в волну другого типа, в данном случае поперечная волна — в продольную. В этом случае также направления распространения отраженной и падающей волн перпендикулярны друг к другу: . Угол Брюстера выражается формулой Углы Брюстера для падения продольной волны и для падения поперечной волны дополняют друг друга до 90°.

Для случаев и получаются соответственно следующие величины для коэффициентов отражения: