§ 36 Волны комплексных частот

Помимо неоднородных плоских волн, приведем для полноты и другие обобщения гармонических волн, которыми также удобно пользоваться в комплексной записи. Так, легко проверить прямой подстановкой в что при

есть свободная волна. Из физических соображений ясно, что должно быть положительным, иначе волна нарастает с течением времени неограниченно. Однако при положительном волну нельзя рассматривать для любых отрицательных моментов времени, так как она безгранично растет при Таким образом, эту волну можно рассматривать только в полубесконечном временном интервале, начинающемся с некоторого определенного момента времени. В этом — аналогия волны волной, неоднородной по пространству, которую можно рассматривать только в полубесконечном пространстве.

Волну (36.1) можно считать гармонической, с комплексной частотой комплексным волновым числом

«той же комплексности». В вещественном представлении волна имеет вид

Ее можно интерпретировать, например, как излучение какого-либо осциллятора, возбужденного ударом в какой-то момент времени и постепенно уменьшающего свою амплитуду вследствие «высвечивания» звуковой волны. Амплитуда волны в каждой точке уменьшается с течением времени вследствие уменьшения амплитуды колебания осциллятора. Пространствеиное же распределение амплитуд в каждый данный момент нарастает при удалении от начальной точки, так как более далекие части волны были излучены в более ранние промежутки времени, когда амплитуда осциллятора еще была велика.

Интересно, что такая же картина имеет место вдали от источника звука не только для плоской волны, но и в пространственном случае излучения сферической волны (например, для звука удара колокола). В этом случае, хотя амплитуда и убывает при удалении от источника вследствие расхождения волн (убывание по степенному закону обратно пропорционально расстоянию от источника), но это убывание перекрывается указанным выше экспоненциальным нарастанием (ср. § 89).

Наконец, рассмотрим наиболее общий случай: неоднородные пространству волны комплексной частоты. Такую волну можно записать в виде

Здесь комплексная частота и комплексный волновой вектор. Подставляя (36.2) в (22.2), получим условие, связывающее :

Разделяя вещественные и мнимые части, найдем

Если четыре величины удовлетворяют этим двум соотношениям, то (36.2) действительно представляет собой свободную волну в данной среде.

Согласно формуле (22.5) скорость частиц в такой волне равна

Следовательно, движение частиц в волне происходит в плоскости, параллельной векторам . В каждой такой плоскости можно указать четыре характерных направления: а) направление быстрейшего изменения фазы, параллельное вектору ; б) направление фронта, вдоль которого фаза не меняется, перпендикулярное к вектору в) направление быстрейшего изменения амплитуды, совпадающее с направлением вектора ; г) направление, вдоль которого амплитуда не меняется, перпендикулярное к вектору а (рис. 36.1).

Рис. 36.1. Двухмерный профиль неоднородной волны комплексной частоты. а — направление быстрейшего изменения фазы, б - направление постоянной фазы, в — направление быстрейшего изменения амплитуды, направление постоянства амплитуды.

В отличие от неоднородной волны с вещественной частотой, в волне вида (36.2) направления быстрейшего изменения амплитуды и фазы не составляют прямого угла, а ось, вдоль которой профиль волны перемещается как твердое тело, не совпадает с направлением быстрейшего изменения фазы.

Найдем вектор скорости перемещения волны (36.2) как твердого тела. Обозначим этот вектор у. Очевидно, должно выполняться условие

откуда следует

Вектор должен представлять собой линейную комбинацию векторов , т. е. где пока неизвестные постоянные. Умножая обе части этого выражения на , получим, учитывая (36.4),

Решая эту систему относительно а и найдем

Наконец, подставляя в выражение для у, найдем после простых переделок:

Модуль вектора скорости равен

Обобщая понятие плоской гармонической волны, мы нашли, что любое из обобщений можно записать в том же виде, что и обычную однородную волну:

где как , так и могут быть комплексными и должны удовлетворять единственному условию

Все такие волны будем объединять названием монохроматических плоских волн.