§ 94. Характеристики направленности системы монополей

При совместной работе нескольких монополей, расположенных в ограниченной области пространства, зависимость поля от расстояния и от угла наблюдения оказывается вообще очень сложной. Однако в большинстве случаев нас интересует только поле на большом расстоянии от системы. В этом случае выражение для поля значительно упрощается: можно показать, что поле любой системы гармонических излучателей данной частоты, расположенной в ограниченной области среды на достаточно большом расстоянии от этой области, асимптотически всегда можно представить в виде произведения стандартной функции от расстояния на функцию только от направления:

Здесь А — постоянная (которую будем выбирать так, чтобы максимальное значение угловой функции 0 равнялось по модулю единице), а углы сферической системы координат с центром в любой точке области, занятой системой. Угловую функцию называют характеристикой направленности данной системы излучателей. Фаза А может зависеть от 0.

Вывод формулы (94.1) и оценку расстояния, начиная с которого можно пользоваться этой формулой, продемонстрируем

- на простейшем примере двух монополей. Этот случай можно свести к двум еще более простым случаям совместной работы двух одинаковых синфазных излучателей и двух одинаковых противофазных излучателей. В самом деле, пусть в точках расположены два («прозрачных») монополя с объемными скоростями . Очевидно, их можно заменить двумя совмещенными системами излучателей, расположенных в тех же точках: системой излучателей с объемными скоростями ( (синфазные излучатели) и системой излучателей с объемными скоростями и (противофазные излучатели). Каждую из таких систем удобно рассматривать отдельно, а искомое поле есть суперпозиция полей этих систем.

Начнем с синфазной системы. Обозначим расстояние между излучателями через а общую объемную скорость каждого из них — через У. Вследствие симметрии системы относительно ее оси поле цилиндрически симметрично относительно этой оси. Поле, создаваемое системой в некоторой точке приема М (рис. 94.1), равно

Поскольку отсюда имеем

Зависимость поля от расстояния от системы и от угла наблюдения оказывается очень сложной; в частности, угловая зависимость поля меняется при изменении расстояния. Чтобы это выражение удалось привести к виду (94.1), необходимо раньше всего уйти от системы на расстояние, во много раз превышающее ее размеры, т. е. следует потребовать выполнения условия Тогда для любых углов можно считать поля, приходящие в точку приема М, пропорциональными амплитудам объемных скоростей излучателей, а в нашем случае — считать амплитуды приходящих полей равными. Корень в знаменателе в (94.2) можно положить равным единице (относительная погрешность в амплитуде соответственного колебания имеет при этом порядок

Рис. 94.1. К расчету поля двух совместно работающих монополей.

Но в фазе колебания сделать такую жезамену корня единицей нельзя, так как для фаз существенны не относительные, а абсолютные ошибки: результирующая ошибка в фазе должна быть меньше единицы. Поэтому условия вообще недостаточно. Разлагая квадратный корень в ряд по степеням малой величины до третьего члена, найдем, что фаза второго члена в скобках равна

с точностью до величин высших порядков. Отсюда видно, что разность фаз между вкладами обоих излучателей в результирующее поле можно будет считать независимой от расстояния, если будет выполнено второе условие малости: .

При выполнении обоих условий выражение в скобках в (94.2) окажется зависящим только от угла — мы придем к выражению вида (94.1). Разность фаз между вкладами обоих излучателей в этом приближении можно определять так, как если бы радиусы-векторы, проведенные из излучателей в точку приема, были параллельны.

С той же степенью точности можно отсчитывать расстояние до точки приема и угол наблюдения не обязательно от первого излучателя, но и от любой точки на соединяющем их отрезке и, вообще, в объеме с размерами порядка

Такие же рассуждения можно повторить и для системы из произвольного числа монополей, причем несущественно, будут ли одинаковы амплитуды и фазы объемных скоростей всех излучателей. Во-первых, требуется уйти от системы на расстояние, большое по сравнению с наибольшим размером системы Тогда

амплитуды колебаний, приходящих от отдельных излучателей в точку приема, можно считать пропорциональными амплитудам объемных скоростей монополей. Во-вторых, следует потребовать, чтобы было выполнено условие тогда разности фаз между этими колебаниями перестанут зависеть от увеличения расстояния Для таких расстояний поле системы можно будет с указанной точностью представить в виде (94.1).

Два условия малости относятся к различным характеристикам полей. Первое обеспечивает сохранение отношений амплитуд вкладов каждого излучателя в поле в точке приема при изменении расстояния. Второе условие обеспечивает неизменность разности фаз при удалении по данному направлению. Второе условие, в отличие от первого, зависит от частоты; поэтому более жестким может быть как первое, так и второе условие: при низких частотах более жестко первое условие, а при высоких — второе.

Область, ограниченную расстоянием от системы, много меньшим, чем называют прожекторной зоной. На расстоянии, много большем поле имеет вид расходящейся сферической волны с определенной характеристикой направленности. Но в пределах прожекторной зоны поле имеет совершенно другой характер.

Например, поле, излучаемое колеблющейся пьезоэлектрической пластинкой, создает впереди себя резко очерченное поле, ограниченное цилиндром с пластинкой в основании (прожекторный пучок). На расстоянии пучок расплывается, а на расстоянии, много большем превращается в сферическую волну с характеристикой, зависящей от соотношения между размерами пластинки и длиной волны излучаемого звука.

Возвращаясь к двум синфазным излучателям, видим, что при выполнении обоих условий малости поле системы можно записать в виде

Таким образом, характеристика направленности имеет вид

Характеристику направленности удобно изображать как поверхность, длина радиуса-вектора которой равна значению 0, соответствующему данному направлению. Очевидно, характеристика монополя — сфера единичного радиуса. Для двух синфазных монополей характеристика направленности дается уравнением (94.4). Это — поверхность вращения вокруг оси системы. Уравнение (94.4) можно рассматривать также как уравнение в полярных координатах меридионального сечения характеристики.

При больших значениях дает «многолепестковую» характеристику с рядом одинаковых максимумов, разделенных нулевыми значениями (рис. 94.2). Каждый лепесток — конусообразное тело вращения. В максимумах, соответствующих направлениям, для которых целое), поле системы равно двойному полю, создаваемому одним из монополей (разность фаз вкладов каждого монополя — целое число периодов).

Нули соответствуют направлениям В направлениях, соответствующих имеем что означает, что в этих направлениях плотность потока мощности излучения составляет половину максимальной.

При многолепестковой характеристике и в направлениях, не слишком близкихк оси системы, ширина лепестков составляет («от нуля до нуля») приблизительно

Рис. 94.2. Многолепестковая характеристика направленности системы двух синфазных монополей, расположенных на расстоянии друг от друга . Показан первый квадрант-меридионального сечения характеристики, которое симметрично относительно обеих осей.

Ширина «по уровню половинной мощности» равна половине этого значения.

Характеристика симметрична относительно направления в котором лежит один из максимумов.

При уменьшении величины что соответствует уменьшению частоты или расстояния между излучателями, все лепестки начинают поворачиваться, приближаясь к положительному и отрицательному направлениям оси системы и несколько меняя свою форму (уширяясь). Лепесток, подошедший к оси, исчезает при дальнейшем уменьшении так что число лепестков уменьшается вместе с Число лепестков, т. е. число нулей в диапазоне изменения 0 от нуля до 90°, равно целой части величины Минимальное расстояние между излучателями, при котором имеется еще целый лепесток, равно половине длины волны . Единственный лепесток имеет в этом случае вид тора с нулевым просветом (рис. 94.3). При дальнейшем уменьшении поле не исчезает ни по какому направлению и при стремлении к нулю характеристика стремится к сфере, а амплитуда во всех направлениях делается равной двойной амплитуде поля, создаваемого одним излучателем.

Мы видим, что форма характеристики существенно зависит от частоты излучения. Поэтому при немонохроматическом излучении системы излучателей вообще не обладают никакой определенной характеристикой направленности. Если представить себе

излучаемое поле разложенным в спектр Фурье по частотам, то характеристики для каждой частоты будут различны и различные частотные составляющие окажутся пространственно разделенными по углам.

Для противофазных одинаковых излучателей суммарное поле можно получить из (94.2), беря в скобках разность вместо суммы.

На расстояниях, удовлетворяющих вышеприведенным требованиям, суммарное поле равно

Рис. 94.3. Характеристика направленности образована вращением овала вокруг касательной к вершине.

Для больших характеристика также многолепестковая, но вся картина повернута на половину лепестка: в направлении теперь лежит нуль характеристики. Симметрия характеристики относительно оси системы и угла имеет место и в этом случае. Максимумы поля, как и в предыдущем случае, равны двойным значениям поля, создаваемого одним излучателем.

Из формулы (94.5) видна обратная зависимость между размерами системы (выраженными в длинах волн) и угловыми размерами лепестков. Это — «принцип неопределенности» для направленности систем. Для получения более острых лепестков требуется увеличивать размеры системы. Однако в акустике принцип неопределенности направленности — не «настоящий» принцип: применяя излучатели с различными фазами, можно получить при заданных размерах системы сколь угодно узкий лепесток характеристики. Это ясно уже из того, что, как увидим в § 96, направленность (хотя бы и не острую) удается получить и при сколь угодно малых размерах системы («сверхнаправленность»). Однако это возможно лишь ценой повышения-реактивной мощности сравнительно с системами, для которых условие (94.5) остается выполненным.