§ 16. Волновое уравнение

Часто бывает удобно, исключая все величины, характеризующие волну, кроме одной, привести полную систему уравнений акустики к одному-единственному уравнению относительно этой величины.

Для адиабатического процесса полную систему образуют уравнения первого порядка (13.2) и (13.12), где сжимаемость есть Рад. В однородной среде величины Рад и не зависят от координат; продифференцируем уравнение (13.12) по времени, переставим порядок дифференцирования скорости по времени и по пространству и заменим величину на ее значение из уравнения (13.2): Тогда получим уравнение

или, заменяя

где Это — волновое уравнение для давления. В результате исключения других величин порядок уравнения повысился: волновое уравнение имеет второй порядок.

Если в той или иной задаче удалось найти решение (16.1) для давления в волне как функции координат и времени, то скорость частиц определим простой квадратурой при помощи формулы (13.3). Аналогично можно найти и другие характеристики волны (например, сжатие или изменение температуры).

Как было сказано в § 13, исходные уравнения первого порядка справедливы как в однородной, так и в любой неоднородной среде. Но волновое уравнение справедливо уже не для всех неоднородных сред. Если от координат зависит только сжимаемость среды, а невозмущенная плотность постоянна по всему пространству, то волновое уравнение сохранит свою форму (16.1). Однако теперь это — уравнение с переменными коэффициентами, в котором величина с меняется от точки к точке и вообще не имеет смысла скорости звука в среде, потому что в такой среде волны вообще не сохраняют свою форму при распространении.

Если от координат зависит плотность среды, то, повторяя процедуру исключения скорости частиц, придем к уравнению вида

отличающемуся от волнового уравнения.

Волновое уравнение с переменным коэффициентом справедливо и для потенциала скоростей, если плотность постоянна по всей среде. Для того чтобы волновому уравнению удовлетворяли сжатие среды и компоненты скорости частиц, необходимо, чтобы были постоянными и сжимаемость, и плотность.

Волновое уравнение в декартовых координатах имеет вид

Если движение зависит только от одной координаты, например х, то волновое уравнение принимает вид

Для справок приведем здесь запись волнового уравнения в часто применяющихся цилиндрической и сферической системах координат. В цилиндрической системе уравнение имеет вид

В сферических координатах уравнение имеет вид

Нам удалось упростить точные уравнения гидродинамики, пользуясь тем, что в акустике смещения частиц малы по сравнению с расстояниями, на которых эти смещения заметно меняются. Но такой подход принципиально связан с выбором системы координат, относительно которой невозмущенная среда покоится. В системе координат, движущейся относительно среды, смещения частиц уже не будут малы и в новой системе нельзя будет произвести такие же упрощения. Поскольку принцип относительности Галилея справедлив для точных уравнений гидродинамики, он неприменим к упрощенным уравнениям: волновое уравнение, которое мы получили из упрощенных уравнений, не инвариантно по отношению к галилееву преобразованию.

В самом деле, пусть имеем волну , удовлетворяющую в системе координат , связанной с невозмущенной средой, волновому уравнению (16.2). Возьмем систему координат , движущуюся относительно среды со скоростью в направлении оси х. Формулы перехода от одной системы координат к другой имеют вид

В новой системе координат зависимость давления от координат и времени примет вид

Частные производные по координатам останутся без изменения, но частная производная по времени изменится: будем иметь

и, следовательно,

Подставляя в волновое уравнение, найдем, что в новой системе координат давление удовлетворяет уравнению

отличающемуся от волнового. Таким образом, пользуясь упрощенными уравнениями, мы привязываем себя к «абсолютной» системе координат.