§ 31. Пристраивание плоской волны в среде к бегущейволне давления на плоскости

Пусть распределение давления на плоскости задано в виде I

Здесь - волное число двухмерной гармонической волны частоты , бегущей в плоскости вдоль оси Для того чтобы пристроить к этой бегущей волне плоскую волну в пространстве, вспомним (§ 17), что след любой гармонической плоской волны на плоскости есть двумерная волна с той же частотой и амплитудой давления и с волновым числом, равным проекции волнового вектора пространственной волны на плоскость. Значит, в нашей задаче есть проекция на плоскость волнового вектора искомой волны.

На рис. 31.1 дано построение для нахождения искомого волнового вектора. На оси х отложен отрезок и из конца его восстановлен перпендикуляр в плоскости до пересечения с окружностью, описанной в той же плоскости радиусом из начала отрезка. Волновой вектор искомой волны соединяет центр окружности с точкой пересечения. Решений оказывается два: одно соответствует волне, бегущей от плоскости, — это и есть нужное нам решение; второе соответствует волне, приходящей из бесконечности, и поэтому мы должны его отбросить. Компонента по оси волнового вектора пристроенной волны равна так что окончательное решение для уходящей волны

имеет вид

Волну в пространстве, пристроенную к двухмерной волне на плоскости, называют спектром. Угол скольжения 0 спектра относительно плоскости определяется равенствами

Заметим, что скорость волны на плоскости больше скорости волны в пространстве: .

Рис. 31.1. Построение волнового вектора плоской гармонической волны данной частоты по волновому числу ее следа на плоскости Построение возможно только для

Проследим, как будет меняться спектр при изменении волнового числа двухмерной волны фиксированной частоты, заданной на плоскости. При давление распределено равномерно по всей плоскости: в полупространство излучится волна, бегущая перпендикулярно к плоскости . Это — уже рассмотренный случай поршневого излучения. С увеличением волновой вектор спектра начнет поворачиваться и угол скольжения будет уменьшаться. При угол скольжения обратится в нуль и волна будет бежать вдоль плоскости. При никакой плоской волны в полупространстве, следом которой явилась бы данная волна на плоскости, быть не может, так как проекция волнового вектора не может быть больше величины самого вектора. Это ограничение можно формулировать еще и так: чтобы к данной гармонической волне на плоскости можно было пристроить плоскую волну в пространстве, скорость (и длина волны) на плоскости должна быть больше скорости (и длины волны) в среде.

Можно попытаться продолжить заданное распределение давлений на плоскости в виде волны в полупространстве и для более сложных случаев. В самом деле, при известных ограничениях заданное распределение давления, меняющееся с течением времени по гармоническому закону, можно разложить на плоскости в ряд или в интеграл Фурье по координате. Волна, пристроенная к такому распределению, представится суперпозицией спектров, соответствующих каждой из бегущих волн разложения Фурье.

Такой прием позволил бы решить задачу об излучении звука плоскостью, на которой задано произвольное распределение давлений, если бы не ограничение, указанное выше: волновые

числа гармонических волн на плоскости должны быть меньше волнового числа в среде, соответствующего заданной частоте. Поэтому не всякое распределение поля на плоскости можно продолжить при помощи спектров в полупространство, а только такое, которое не содержит компонент с волновым числом, превосходящим волновое число волны данной частоты в среде. Это значит, что не удастся продолжить в среду компоненты, бегущие по плоскости медленнее, чем волна в среде. «Мелкая» структура распределения, которая при данной частоте как раз и соответствует малым длинам волн, малой скорости и большим волновым числам, «не продолжается» в среду в виде плоских волн.

Однако удобство спектральных разложений так велико, что Имеет смысл обобщить понятие плоской волны так, чтобы оно охватило и такие волны, следы которых были бы синусоидами, скорость которых могла бы быть сколь угодно мала и, значит, волновое число следа — сколь угодно велико. При этом придется, поступиться другими свойствами компонент: они фактически будут не плоскими волнами, и старое название имеет смысл сохранить только потому, что эти волны можно записать аналитически в той же форме, что и «настоящие» плоские волны. Такие «обобщенные» плоские волны называют неоднородными плоскими волнами, в отличие от «обычных» плоских волн, которые называют однородными.