§ 91. Лучевая картина для монополя, Монополь в слоисто-неоднородной среде

Как мы уже отметили в § 84, вдали от монополя звуковое поле можно локально изображать плоской волной. «Локально» означает здесь: «на участке, большом по сравнению с длиной волны», а «вдали» — «на расстоянии, большом по сравнению с размерами этого участка». Ценность такого изображения в том, что поведение сферической волны на подобном участке похоже на поведение плоской волны. Например, если на границу раздела двух однородных сред падает сферическая волна от монополя, расположенного достаточно далеко от границы, то отраженное и прошедшее поле вблизи границы можно вычислять прямо по формулам Френеля для плоских волн, подставляя для каждого участка границы соответственный угол скольжения (угол между радиусом-вектором данного участка и границей) и амплитуду, соответствующую расстоянию участка от центра волны.

Ввиду такого сходства можно ввести для сферической волны понятия луча и лучевой трубки аналогично тому, как это было сделано в §§ 44, 57 для плоских волн. В однородной среде лучи представляются радиусами-векторами, проведенными из центра волны. Скорости частиц, как и для лучей в плоской волне, направлены вдоль стенок лучевых трубок, и звуковая энергия бежит вдоль трубок, не переходя из одной в другую. Лучи располагаются перпендикулярно фронтам, так что лучевые трубки равномерно-расширяются при удалении от центра волны и плотность потока активной мощности меняется обратно пропорционально площади сечения трубки, что соответствует закону обратных квадратов.

Если на пути луча, вышедшего из точечного источника, встречается резкая граница, то направление отраженного и прошедшего лучей определяется по закону Снеллиуса, а распределение энергии между ними — по формулам Френеля. Лучевая картина отражения от резкой границы окажется локально аналогичной картине для плоской волны, но с углами скольжения, медленно меняющимися вдоль границы.

Особенно интересен случай перехода лучей в среду с большей скоростью звука. В этом случае проходят (частично отражаясь) только лучи, лежащие внутри кругового конуса, соответствующего критическому углу скольжения; остальные лучи отражаются полностью. Попадая во вторую среду, лучевые трубки расширяются, засвечивая всю вторую среду, причем расширение тем больше, чем ближе к критическому угол скольжения для падающего луча. Поэтому плотность энергии в лучевых трубках во второй среде быстро падает с уменьшением угла скольжения и, как можно показать, стремится к нулю при приближении угла скольжения прошедшего луча к нулю. Таким образом, вдали от источника сферической волны поле во второй среде вблизи границы раздела будет мало по сравнению с полем в первой среде

по другую сторону границы (конечно, в действительности на самой границе поля равны: выравнивание полей на границ обеспечивается неоднородной волной полного отражения, — явление, не учитываемое в лучевой картине). По мере удаления от границы по нормали поле во второй среде растет, так как при этом мы переходим к лучам с большим углом скольжения. Важный пример такой ситуации — переход звука из воздуха в воду (рис. 91.1).

Рис. 91.1. Переход звука из воздуха в воду. Лучи, лежащие внутри конуса, отмеченного дужкой, засвечивают все водное полупространство. Лучи вне этого конуса испытывают полное отражение от поверхности воды.

Но особенно полезна картина лучей при изучении звукового поля точечного источника в неоднородной среде. Ограничимся для простоты и здесь случаем слоисто-неоднородной среды. Если изменение свойств среды мало на расстоянии длины волны, то можно по-прежнему пользоваться картиной рефракции лучей согласно формуле (57.2), считая, что они локально представляют плоскую волну и подчиняются закону Снеллиуса. В частности, лучи от точечного источника искривляются в сторону меньших скоростей звука.

Например, в обычных метеорологических условиях температура воздуха, а вместе с ней и скорость звука уменьшаются снизу вверх. Поэтому звуковые лучи изгибаются кверху, в результате чего слышимость на земле быстро убывает при удалении от источника звука (рис. 91.2, а). При аномальном распределении температур, например в ясную ночь, когда земная поверхность выхолаживается в результате излучения тепла, а вместе с ней охлаждаются и нижние слои воздуха, температура растет снизу вверх («температурная инверсия») и лучи изгибаются книзу: слышимость на далеком расстоянии улучшается (рис. 91.2, 6). Таким образом, слышимость далеких источников шума улучшается ночью не только потому, что меньше посторонних близких шумов, но и в результате рефракции.

Другое важное явление, связанное с рефракцией, — это распространение сейсмических волн, т. е. звуковых волн в Земле (такие волны вызываются землетрясениями, подземными взрывами и т. п.). Скорость звука в горных породах растет с увеличе нием глубины. Поэтому сейсмические лучи, загибаясь, возвращаются к поверхности, отражаются от нее, снова загибаются и т. д., так что значительная часть сейсмической энергии

оказывается сосредоточенной в сравнительно тонком слое земной коры (рис. 91.3).

В море часто случается, что на некоторой глубине скорость звука в воде имеет минимальное значение, увеличиваясь к поверхности вследствие повышения температуры и увеличиваясь ко дну вследствие повышения гидростатического давления.

Рис. 91.2. Звуковые лучи при убывании и возрастании температуры воздуха с высотой., Заштрихована область звуковой тени, куда лучи не попадают и где источник звука практически не слышен.

Поэтому в слое вблизи уровня минимальной скорости луч, выходящий под малым углом к горизонту, будет изгибаться то вверх, то вниз, не удаляясь значительно от этого уровня.

Рис. 91.3. Последовательные отражения двух сейсмических лучей, вышедших из одной точки под земной поверхностью.

Это — лучевая картина волноводного распространения звука, рассмотренного подробно с волновой точки зрения в гл. VIII. На рис. 91.4, б в качестве примера представлена лучевая картина распространения звука от точечного монополя в море для распределения скорости звука по глубине, схематически показанного

на рис. 91.4, а. Каждый луч соответствует определенному углу скольжения при выходе из источника. Несмотря на то, что весь диапазон изменения скорости звука по глубине внутри волноводной части водной толщи составляет всего 7,5 м/сек (1/2% от скорости звука), эта малая неоднородность создает, как видно из лучевой картины, весьма неравномерное распределение звукового поля, резко отличающееся от распределения, которое было бы в однородной среде.

В однородной среде лучи прямолинейны и лучевые трубки, выходящие из монополя, расширяются равномерно по мере удаления от источника; в неоднородной среде расширение трубок, образуемых в этом случае криволинейными лучами, определяется не только расстоянием от источника, но и искривлением лучей.

Рис. 91.4. (см. скан) а) Распределение скорости звука по глубине, считая от поверхности воды; б) лучи, построенные для такого распределения скорости для разных углов выхода из излучателя (каждые 0,2°). Для наглядности горизонтальный масштаб чертежа сильно сжат относительно вертикального. Лучи ясно очерчивают несколько огибающих — каустик.

В среднем расширение трубок в волноводе происходит медленнее, чем в однородной безграничной среде; поэтому плотность звуковой энергии в волноводе убывает медленнее, чем в безграничной среде.

Как видно из рис. 91.4, вдали от источника в каждую точку среды приходит несколько лучей; в силу принципа суперпозиции результирующее поле равно сумме полей, приносимых отдельными лучами. Особенно интересны области вблизи огибающих семейства лучей, вышедших из источника под близкими углами. Эти огибающие называют каустиками. При подходе к каустике лучи сближаются, и на самой каустике, которой лучи

касаются, сечения лучевых трубок обращаются в нуль. Явление сближения смежных лучей вблизи каустики и их пересечение на каустике называют фокугировкой лучей. Плотность потока мощности вблизи каустики, рассчитанная по Лучевой картине, обращается в бесконечность.

Этот физически противоречивый результат показывает, что вблизи каустик пользоваться лучевой картиной для определения величины поля нельзя. Теория волн в локально-однородных средах, из которой мы фактически исходили до сих пор при нахождении поля в медленно меняющейся среде, оказывается непригодной для расчета поля вблизи каустик. Здесь необходим точный волновой расчет. Такой расчет показывает, что лучи можно строить для всей среды, не обращая внимания на то, что они касаются каустик; нельзя только вычислять плотность энергии вблизи каустик, исходя из степени расширения или сужения лучевых трубок. На каустиках лучи как бы испытывают полное отражение: по другую сторону от каустики звуковое поле представляет собой экспоненциально убывающую волну, локально представляемую неоднородной волной, бегущей вдоль каустики.

Поясним причину неприменимости лучевой картины вблизи каустик. Для того чтобы можно было представлять звуковое поле в виде совокупности лучевых трубок, вдоль которых, независимо от соседних трубок, бежит почти плоская волна, необходимо, во-первых, чтобы не происходило отражения вдоль трубки, и, во-вторых, чтобы стенки трубок можно было считать жесткими. Первое требование всегда удовлетворяется, если свойства среды меняются мало на длине волны. Второе требование удовлетворяется автоматически для лучей, падающих на слоисто-неоднородную среду по нормали, и для лучей, исходящих из монополя в однородной среде: в обоих случаях звуковое поле симметрично относительно границ трубок и поэтому их можно заменить жесткими перегородками. Но для изогнутых лучей симметрия нарушается, независимость трубок делается только приближенной, и для того чтобы взаимодействие между трубками было мало, требуется, чтобы поперечные градиенты поля были малы.

Там, где лучевая картина локально похожа на ту, что получается в однородной среде, т. е. лучи идут параллельно или сечение трубки меняется медленно, поперечные градиенты малы и лучевая картина применима. Но вблизи каустик степень сужения близких трубок сильно меняется в поперечном направлении, градиенты поперек трубок велики и скорости частиц направлены под углом друг к другу., т. е. нарушается второе условие применимости лучевой картины. В этом случае волны в соседних трубках, сильно взаимодействуют и энергия переносится из трубок сильно сузившихся в трубки менее сузившиеся. В результате бесконечное поле на каустике не образуется и противоречивых результатов не получается, как, конечно, и должно быть в

исправленной теории. Но такая «корректировка» требует отказа от чисто лучевой картины.

Точная теория показывает, что «откорректированное» поле вблизи каустик все же очень велико по сравнению с полем вне каустик. Таким образом, наличие фокусировки лучей указывает на область сильного повышения плотности энергии поля, хотя и не дает возможности его рассчитать лучевым методом.

В данной неоднородной среде положение каустик зависит от вида исходной волны. Для поля монополя это означает зависимость от местоположения монополя.

Лучевая картина точечного источника, как и лучевая картина рефракции плоской волны, не зависит от длины волны. Положение каустик также от длины волны не зависит, и, несмотря на то, что для вычисления поля вблизи каустик требуется применять волновую теорию, положение каустик можно найти, пользуясь только лучевой картиной.

Различные лучи могут иметь общую точку и не на каустике: возможна «случайная» встреча лучей, принадлежащих к разным конгруэнциям (см. рис. 91.4). В этом случае фокусировки звука не происходит и суммарное поле в точке пересечения находится по правилу суперпозиции. Для монохроматической волны в точках пересечения будет наблюдаться интерференционная картина, зависящая от соотношения фаз пришедших по разным лучам волн. В среднем для разных длин волн в точках пересечения будут складываться плотности энергии поля. Таким образом, для звука со сплошным спектром суммарная плотность энергии не будет зависеть от частотного спектра и будет определяться только лучевой картиной. Важное исключение — пересечение лучей с малой разностью хода, фазы которых в точке пересечения мало отличаются друг от друга. Такая ситуация встречается при распространении подводного звука при пересечении лучей, попадающих в некоторую точку прямо от источника и после отражения от свободной поверхности воды.