§ 129. Распространение плоской волны конечной амплитуды в среде с дисперсией скорости

Наличие дисперсии в среде сильно влияет на распространение волн конечной амплитуды. Начнем с гармонической волны в качестве волны первого порядка. По-прежнему можно написать уравнение поправки как уравнение в линейной среде с наличием сторонних источников. Скорость бега пространственного распределения сторонних источников — это скорость исходной волны. Скорость же бега второй гармоники вследствие дисперсии отличается от этой скорости. Поэтому при распространении фаза стороннего воздействия и фаза второй гармоники будут расходиться между собой, вместо того чтобы оставаться в неизменном соотношении, как это имело место в отсутствие дисперсии. В результате такой расфазировки перекачка энергии из первой гармоники во вторую начнет замедляться, прекратится, а затем и переменит знак, так что энергия начнет возвращаться из второй гармоники в первую и полностью вернется в первую гармонику. Вековой член в решении будет отсутствовать.

При дальнейшем распространении волны этот цикл сможет повториться многократно. При достаточной величине дисперсии может оказаться, что амплитуда второй гармоники за все время цикла будет оставаться малой по сравнению с амплитудой первой гармоники. Тогда практически не будет ограничения во времени распространения или в пути пробега волны, на котором допустимо пользоваться приближением, учитывающим только квадратичную поправку.

Проиллюстрируем сказанное расчетом. Пусть скорость звука для частоты первой гармоники равна с. Волну первого порядка возьмем в виде

Уравнение для второй гармоники имеет вид

где с — скорость второй гармоники. Как увидим, с соответствует, в зависимости от акустической ситуации, либо частоте, либо длине волны второй гармоники, т. е. либо двойной частоте, либо двойному волновому числу первой гармоники. Правая часть уравнения (129.2) не удовлетворяет однородному уравнению, так как при наличии дисперсии двойной частоте не соответствует двойное

волновое число. Поэтому резонансных явлений при распространении волны не будет.

В самом деле, рассмотрим акустическую ситуацию, в которой в начальный момент задано этом случае поправка должна иметь пространственную периодичность, равную пространственной периодичности стороннего воздействия, т. е. поправка есть гармоника с волновым числом Так как скорость с волны с волновым числом не равна скорости волны с волновым числом то и частота этой волны не равна Искомое решение можно записать как сумму частного решения уравнения (129.2) («вынужденная волна») и решения однородного уравнения («свободная волна»), подобранного так, чтобы удовлетворить начальному условию. Частное решение можно выбрать в виде

Подставляя в (129.2), найдем

«Свободная волна» с тем же волновым числом имеет вид

Для того чтобы в начальный момент сумма обоих решений равнялась нулю, достаточно положить

Таким образом, после элементарного преобразования найдем, искомое решение в виде

Временная зависимость решения представляет собой картину биений: векового члена действительно нет. Амплитуда второй гармоники (частоты ) сначала растет, достигает максимального значения, равного

затем начинает убывать и наконец совсем исчезает, после чего весь цикл повторяется снова и снова. Полный период биений равен

Этот расчет пригоден только для случая малости максимальной амплитуды второй гармоники по сравнению с амплитудой первой гармоники, т. е. при достаточно большой дисперсии. Тогда можно пренебрегать малым изменением амплитуды первой гармоники на всем протяжении цикла биений, а также влиянием

поправок порядка выше второго при распространении волны в течение многих циклов.

Начальный участок нарастания второй гармоники имитирует линейное нарастание амплитуды векового члена, и при малой дисперсии амплитуда ее может достигнуть большой величины, что обозначит неприменимость расчета. При предельном переходе к отсутствию дисперсии найденное решение переходит в (125.5).

Аналогичный расчет легко провести и при задании синусоидального давления в некоторой точке. В этом случае заданной является временная периодичность стороннего воздействия, равная двойной частоте колебаний поршня Но соответственное волновое число при этом не будет равно а должно быть получено как где с — скорость волны частоты Тем же способом, что и выше, найдем решение:

Здесь также получаются биения — на этот раз пространственные. Максимальное значение амплитуды второй гармоники равно

Длина одного цикла биений есть

Наличие дисперсии объясняет, почему не образуются «ударные волны», «скачки» в волнах на морской поверхности, хотя их нельзя считать волнами бесконечно малой амплитуды, и вообще почему в таких волнах можно пренебрегать накоплением нелинейного эффекта.

Дисперсия морских волн выражается соотношением где ускорение силы тяжести. Расфазировка волн двойной частоты с волной первого порядка приводит к сдвигу фаз на полволны уже на расстоянии одной четверти волны. Практически перехода энергии в высокие гармоники нет.

Дисперсией звука можно объяснить сравнительно малое ослабление звука при его распространении в верхних слоях атмосферы на расстояния в десятки тысяч километров, наблюдающееся после взрывов искусственных (атомные взрывы) или естественных (вулканический взрыв о-ва Кракатау). Звуки таких взрывов оказываются захваченными атмосферным волноводом — областью минимальной скорости звука, расположенной в высоких слоях

атмосферы. Если бы распространение происходило без дисперсии, то скоро бы образовывалась ударная волна (скачок давления) и волна быстро бы затухала. В действительности в результате волноводной дисперсии волна затухает сравнительно слабо.