§ 87. Монополь. Объемная скорость

Теперь займемся расходящейся сферически-симметричной волной. Создание такой волны представим себе следующим образом. Пусть в среду помещена сфера с проницаемыми стенками, внутри которой попеременно создается то избыток, то недостаток некоторого количества вещества данной среды; это количество будет то выходить через стенки во внешнюю среду, то возвращаться обратно через стенки внутрь сферы. Такое устройство есть идеальный излучатель, создающий снаружи сферы сферически-симметричную расходящуюся волну (проницаемую сферу можно и не осуществлять материально: важно только появление и исчезновение некоторого объема среды). Радиус сферы может быть любым, но особенно важен случай сферы малого радиуса по сравнению с радиусом неволновой зоны. Такой излучатель называют монополем.

В пределах неволновой зоны скорость частиц на поверхности сферы в расходящейся волне примерно обратно пропорциональна квадрату радиуса. Поверхность же сферы прямо пропорциональна квадрату радиуса, так что для создания данного поля снаружи сферы общее количество втекающей или вытекающей через стенки

среды (поток среды через поверхность сферы) следует брать практически не зависящим от радиуса. Значит, это количество и будет определять данную сферически-симметричную волну; можно ожидать, что радиус сферы (пока он мал) при данном количестве создаваемой и исчезающей среды роли не играет; поэтому при малом радиусе сферы говорят о точечном монополе.

Подтвердим эти соображения расчетом. Пусть монополь в виде малой сферы радиуса а создает волну Согласно (84.1) скорость частиц на поверхности сферы равна

что дает следующий поток скорости частиц через всю поверхность сферы:

Введем величину

Очевидно, поток равен сумме двух первых членов разложения этой величины в ряд по степеням приращения аргумента вблизи значения аргумента

откуда видно, что поток через поверхность сферы, создающий данную волну, отличается от , только начиная со второго порядка относительно малой величины где Т — характерное время изменения Величину называют объемной скоростью монополя. Мы видим, действительно, что этот поток мало зависит от радиуса а сферы. Объемная скорость монополя очень велика по сравнению со скоростью изменения под действием звуковой волны объема сферы того же радиуса а, вырезанного в среде вне источника вещества. Поэтому внутри малого объема среды, включающего этот источник, среду практически можно считать несжимаемой, а приближенные формулы обрывать на втором члене.

Выразим теперь поле сферической волны через объемную скорость монополя, создающего эту волну. Из (87.1) имеем

Значит, давление в волне равно

Отсюда видно, что излучение, обусловлено только изменением объемной скорости.

Скорость частиц получится в виде

Заметим, что данная сферически-симметричная волна может быть создана также протеканием среды через поверхность сферы не малого радиуса, но тогда поток среды через поверхностьне будет равен объемной скорости сферической волны и будет зависеть от радиуса.

Для гармонического монополя с объемной скоростью

имеем

В этом случае критерий малости радиуса монополя а имеет вид Отличие потока через поверхность сферы радиуса а от величины равно , т. е. относительная погрешность равна .

Фазу объемной скорости гармонического монополя можно считать произвольной (если еще не выбрана фаза какой-либо другой величины, характеризующей волну, например фаза давления в той или иной точке): изменение фазы равносильно изменению начала отсчета времени. Например, изменение знака равносильно сдвигу начала отсчета на половину периода.

Появление и исчезновение среды внутри проницаемой или мысленно выделенной в среде сферы можно имитировать другим, более реальным процессом: пульсацией непроницаемой сферы малого радиуса. Такой излучатель также называют монополем. Строго говоря, в таком излучателе за объемную скорость нельзя принять величину где скорость поверхности излучателя, так как при колебаниях будет меняться и сам радиус сферы, а это даст нелинейную квадратичную поправку к потоку скорости. Действительно, скорости поверхности соответствует

изменение радиуса

так что поток скорости окажется равным

Добавка к потоку составляет квадратичную по отношению к скорости величину Это — колебание двойной частоты. Относительная величина нелинейной добавки равна

где число Маха. Чтобы различие между двумя видами монополя было мало, должно выполняться условие (обычного требования малости числа Маха по сравнению с единицей здесь оказывается недостаточно). В дальнейшем будем предполагать выполненным и это условие. Так как а — амплитуда смещения поверхности, то условие равносильно требованию малости изменения радиуса сферы по сравнению с самим радиусом.

Из сказанного выше следует важное заключение о связи между конструктивными элементами монополя и создаваемым им полем. При заданной величине вытесняемого объема, который определяется в конечном счете размерами излучателя (например, радиусом малой сферы), объемная скорость пропорциональна частоте звука. Значит, создаваемое звуковое давление пропорционально квадрату частоты, а излученная энергия — четвертой степени частоты. Следовательно, эффективность излучения малого источника звука быстро падает с понижением частоты. В частности, поэтому «бас-громкоговорители» должны иметь такие большие размеры по сравнению с «пищалками» — громкоговорителями для высоких частот звука.

Возьмем в качестве излучателя звука не пульсирующую сферу, а пульсирующее тело любой формы и, кроме того, сообщим поверхности тела различные скорости в разных точках, требуя только, чтобы объем тела менялся с течением времени. Тогда при размерах тела, не малых по сравнению с длиной волны, излучаемое поле будет иметь сложную структуру, зависящую и от формы, и от размеров тела по отношению к длине волны, и от распределения скоростей по его поверхности. Если же тело мало по сравнению с длиной волны, то, как можно показать, вдали от тела главная часть поля всегда явится сферически-симметричной расходящейся волной — такойже волной, которую создал бы монополь в виде пульсирующей сферы малого радиуса с объемной скоростью, равной суммарному потоку скорости через поверхность тела.