§ 19. Акустика микронеоднородных сред. Температурные и вязкие волны

Многие неоднородные среды можно в вопросах распространения звука рассматривать как однородные. Это микронеоднородные среды, т. е. среды, масштаб неоднородностей которых мал по сравнению с длиной звуковой волны, число неоднородностей на длине волны велико, а их распределение по среде достаточно

равномерно, чтобы среду можно было считать в среднем «акустически однородной» или «макрооднородной» на участках, больших по сравнению с размерами неоднородностей, но все еще малых по сравнению с длиной волны. Для не слишком больших ультразвуковых частот такими средами можно считать эмульсии, взвеси, аэрозоли, поликристаллы, жидкости, содержащие газовые пузырьки, и т. п. Решая многие акустические вопросы, можно игнорировать неоднородность таких сред, подобно тому, как мы игнорируем молекулярное строение однородных сред, рассматривая их как сплошные. Тогда можно получить и для микронеоднородных сред полную систему акустических уравнений; однако акустические характеристики этих сред, рассматриваемых как однородные, — эффективная плотность и эффективная сжимаемость Р — сложным образом зависят от размеров неоднородностей, от свойств компонент среды и, как увидим, от частоты колебаний.

Ограничимся далее двухкомпонентными микронеоднородными средами. Если плотности, сжимаемости и коэффициенты адиабатического нагревания при сжатии равны для обеих компонент, то по отношению к звуковой волне обе компоненты тождественны и микронеоднородная среда ведет себя как однородная. Особенности в поведении микронеоднородных сред появляются только при различии этих характеристик в компонентах среды; тогда в среде появляется характерная дисперсия скорости звука и сильное поглощение звуковых волн. Два наиболее важных случая, а именно различие сжимаемостей и различие плотностей, рассмотрим на примере распространения звука в эмульсии, считая, что как зерна эмульсии, так и расстояния между ними много меньше длины звуковой волны.

Предположим сначала, что среды различаются только сжимаемостью.

Очевидно, сжатие элемента микронеоднородной среды составляется аддитивно из сжатий компонент; поэтому сжимаемости также складываются аддитивно:

где сжимаемости компонент, объемная концентрация первой компоненты. Но при различии сжимаемостей обычно различны и коэффициенты адиабатического нагревания. Поэтому при прохождении звука температуры компонент будут изменяться по-разному и между компонентами начнется теплообмен. При этом процесс сжатий и разрежений макроскопически, в масштабе длины звуковой волны, будет по-прежнему идти адиабатически, как и в однородных жидкостях. В этом смысле скорость звука лапласова. Но микроскопически, в масштабе размеров зерен эмульсии и расстояний между зернами, процесс будет неадиабатичен, а степень теплообмена будет зависеть от частоты: большой теплообмен при малых частотах и малый теплообмен при больших

частотах. Следовательно, складываемые аддитивно сжимаемости компонент — неадиабатические.

При малых частотах разности температур между зернами эмульсии и второй средой успевают выровняться: процесс, оставаясь макроскопически адиабатичным, будет микроскопически изотермичен. Соответственную скорость звука можно назвать «ньютон-лапласовой». При больших частотах выравнивания практически не будет: процесс адиабатичен не только макроскопически, но и микроскопически — скорость звука «лаплас-лапласова». Таким образом, для высоких частот

«Лаплас-лапласову» скорость звука в эмульсии можно найти по формуле

Можно показать, что при наличии теплообмена сжимаемость эмульсии всегда больше, чем сжимаемость в отсутствие такого теплообмена и тем больше, чем полнее теплообмен: ньютон-лапласова скорость меньше лаплас-лапласовой. Поэтому при увеличении частоты скорость звука в эмульсии растет. Область дисперсии лежит в некотором интервале частот, на нижней границе которого можно считать температуры зерен эмульсии полностью выравненными с температурой заполняющей среды, а на верхней границе можно считать, что теплообмен практически совершенно не успевает произойти. Внутри же дисперсионной области теплообмен происходит частично, а «глубина прогрева» за половину периода лежит в окрестности размеров зерна эмульсии.

Так как неполный теплообмен между телами разных температур есть термодинамически необратимый процесс, то в дисперсионной области частот должно наблюдаться значительное поглощение звуковой энергии. Опыт подтверждает это заключение.

Аналогичная картина наблюдается в эмульсии с компонентами разных плотностей В этом случае зерна эмульсии либо отстают от соседних частиц окружающей среды, либо обгоняют их, в зависимости от того, больше плотность зерен, чем плотность второй среды, или меньше ее. В реальных средах при этом возникают силы вязкости, выравнивающие скорости зерен и окружающей среды. При малых частотах силы вязкости успевают выравнять скорости и движение происходит как в однородной среде с плотностью Но на более высоких частотах вязкие силы не успевают разогнать или затормозить зерно эмульсии на всю глубину и обе компоненты в звуковой волне имеют различные скорости. Поэтому пользоваться написанной выше формулой аддитивности плотностей в этом случае нельзя, а эффективная плотность участков, малых по сравнению с длиной волны, но содержащих много зерен эмульсии, сложным образом зависит от частоты.

В акустике микронеоднородных сред возникают, таким образом, задачи о выравнивании температур через границу двух различно нагретых сред при периодическом изменении разности температур и задачи о выравнивании скачка скоростей путем вязкости при соприкосновении сред, движущихся вдоль границы с периодически меняющейся разностью скоростей. В случае разных температур задача сводится к определению «глубины прогрева», в случае разных скоростей — к определению «глубины захватывания» вязкостью слоев, прилегающих к границе скачка скорости. В эмульсии выравнивание температур или скоростей происходит через сферическую границу зерна эмульсии с окружающей средой. Математически решение этой задачи громоздко, хотя и не представляет принципиальной трудности; однако составить себе количественное представление о «глубине проникновения» температуры или скорости можно на более простом примере: для плоской границы среды, на которой задана переменная температура или скорость. Приведем соответственный расчет. Начнем с задачи о теплообмене.

Пусть на плоскости создана переменная температура, меняющаяся по синусоидальному закону около некоторой средней температуры среды, граничащей с этой плоскостью. Среда теплопроводна, поэтому переменное температурное поле проникает в среду, образуя в ней своеобразную температурную волну.

В силу симметрии задачи температурное поле в среде зависит только от расстояния от плоскости и от времени: . Вдали от плоскости, очевидно, Т будет убывать: тепло не успеет проникнуть на большое расстояние.

Для того чтобы найти температурную волну, необходимо составить уравнение, которому подчиняется температура неравномерно нагретой среды. Как известно, плотность потока тепла пропорциональна градиенту температуры:

где коэффициент теплопроводности среды.

Рассмотрим элемент объема длиной и единичного сечения. С одного торца в него поступает поток тепла на другом торце поток тепла — так что путем теплопроводности внутрь элемента поступает в единицу времени энергия — Секундное приращение энергии в единичном объеме равно

Вся эта энергия идет на повышение температуры единичного объема. Следовательно, скорость изменения температуры в объеме составит где Р — плотность среды, ее

теплоемкость. Если объем "элемента остается в процессе теплопередачи неизменным, то С есть теплоемкость при постоянном объеме; если неизменно давление, то С есть теплоемкость при постоянном давлении. Суммируя сказанное, приходим к выводу, что температура в неоднородно нагретой среде меняется по закону

где есть температуропроводность вещества.

Например, для воздуха при 20 °С и нормальном давлении Для воды

Теперь решим поставленную выше задачу о передаче тепла в среду от плоскости с заданной переменной температурой. Решение уравнения (19.1) будем искать в виде плоской синусоидальной волны с амплитудой, экспоненциально убывающей по мере удаления от плоскости (в положительном направлении оси

Условия на границе удовлетворяются таким решением автоматически, а величина определяется при подстановке (19.2) в (19.1):

Таким образом, распределение температур — быстро убывающая температурная волна, бегущая от плоскости в среду. Ее волновое число и коэффициент затухания равны друг другу. Амплитуда колебаний температуры спадает в раз на расстоянии

где обозначает длину температурной волны. Расстояние можно считать «глубиной прогревания» при данной частоте. На расстоянии же одной длины температурной волны амплитуда спадает в 535 раз, т. е. в обычных условиях до пренебрежимой величины.

Найденные соотношения объясняют малую роль теплопроводности при распространении звука в однородной среде, о чем мы уже говорили. В самом деле, степень выравнивания температур между сжатыми и разреженными участками в звуковой волне могла бы быть велика, только если глубина прогревания была бы сравнима с длиной звуковой волны. Но соотношение между этими величинами делается ясным из рис. 19.1, на котором показано, как зависят от частоты волновое число звуковой волны и волновое число температурной волны Первый график — прямая, второй — парабола. Мы видим, что в низкочастотной области

спектра волновое число температурных волн очень велико по сравнению с волновым числом звуковых волн: глубина прогревания относительно мала по сравнению с масштабом неоднородности температуры и процесс распространения звука действительно можно считать адиабатическим.

Переход к изотермичности процесса, а значит, и переход от лапласовой к ньютоновой скорости звука мог бы наблюдаться. только при приближении к точке пересечения графиков .

Рис. 19.1. Волновые числа звуковых и температурных волн. Почти весь рисунок лежит в диапазоне частот, при которых распространение звука уже прекратилось: в выбранном масштабе диапазон распространяющихся волн — малый участок вблизи начала координат.

Однако для всех реальных сред при частоте, приближающейся к , распространение звука уже практически прекращается. Например, для воздуха точка перехода соответствует примерно гц, что отвечало бы длине волны звука около см — меньшей длины свободного пробега молекул. При этой частоте никакого распространения звука уже нет. Пока звук распространяется, его скорость в любой однородной среде всегда можно считать лапласовой.

В микронеоднородной же среде температурная неоднородность задается самой структурой среды: размерами неоднородностей. В ней частота перехода определяется соотношением между размерами неоднородностей и длиной температурной волны. В микронеоднородной среде и выравнивание температур происходит при сравнительно низких частотах. При высоких частотах теплообмен ослабляется. На рис. 19.1 горизонтальный пунктир отвечает обратной величине характерного размера а неоднородностей (например, радиуса зерен эмульсии). Точка пересечения этой прямой с параболой волновых чисел температурной волны лежит в области перехода от ньютон-лапласовой скорости к лаплас-лапласовой скорости звука в эмульсии.

Глубины прогревания для воздуха и для воды равны (частота выражена в герцах):

Глубина прогревания меняется с изменением частоты медленно — обратно пропорционально корню квадратному из частоты. Поэтому, например, в воде глубина прогревания у поверхности при сезонных изменениях температуры воздуха (период — один год, гц) составляет всего Фактически наблюдаемое летнее прогревание до глубин в сотни метров вызвана не теплопроводностью воды, а перемешиванием верхних слое» с нижними в результате штормов, волнения моря и подводных течений.

В твердых телах перемешивания нет. Поэтому, например, в земле амплитуда годовых (не говоря уже о суточных) колебаний температуры мала уже на сравнительно небольшой глубине — порядка На такой глубине температура весь год мало отличается от среднегодовой.

В умеренном климатическом поясе водопроводные трубы на такой глубине под поверхностью земли никогда не замерзают. В Сибири же на такой глубине «вечная мерзлота» не исчезает даже летом.

Зная глубину прогревания при той или иной частоте, можно найти, при каких частотах звука произойдет заметное выравнивание температур между компонентами в эмульсии, т. е. найти дисперсионную область для эмульсии. Дисперсионная область лежит вблизи частоты, при которой глубина проникновения близка к радиусу зерен эмульсии. Например, для эмульсии бензола в воде (для бензола см) при размере зерен эмульсии микрон эта критическая частота лежит вблизи При частотах много ниже скорость звука в эмульсии соответствует микроизотермическому процессу, а при частотах много выше — микроадиабатическому.

В вопросе о передаче движения в среду вязкостью достаточно рассмотреть такую задачу: пусть плоскость осуществленная в виде какой-либо пластинки, совершает в своей плоскости колебания по синусоидальному закону:

Если с пластинкой соприкасается среда, то силы вязкости будут переносить движение в глубь среды в виде своеобразной вязкой волны, быстро затухающей при удалении от плоскости. Картина, таким образом, аналогична случаю задания на плоскости переменной температуры.

Как и для температурной волны, в силу симметрии задачи движение в среде может зависеть только от расстояния от плоскости и от времени:

Для того чтобы найти вязкую волну, напишем уравнение движения среды под действием силы вязкости. Рассмотрим слой жидкости, лежащий между Как известно, сила вязкости, действующая на плоскость, пропорциональна производной

скорости течения вдоль плоскости в направлении, перпендикулярном к плоскости. На сторону х выделенного слоя в расчете на единицу площади действует сила вязкости где коэффициент вязкости; на противоположную сторону действует сила вязкости

Результирующая этих сил равна

Но масса слоя в расчете на единицу площади есть

Следовательно, уравнение движения слоя можно записать в виде

где есть кинематический коэффициент вязкости среды.

Это — уравнение вязких волн, аналогичное уравнению (19.1) для температурных волн. Так как уравнения для плоской вязкой и плоской температурной волн совпадают по форме, то одинаковую форму имеют и решения, с той разницей, что в решении для вязких волн вместо коэффициента температуропроводности следует взять кинематический коэффициент вязкости. Вязкая волна имеет, таким образом, вид

где , а «глубина проникновения» вязкой волны составляет