§ 90. Мощность излучения монополя. Плотность энергии в сферически-симметричной волне

Мощность, излучаемая монополем, равна суммарному потоку вектора плотности потока мощности через любую поверхность, окружающую монополь. Для расчета удобно выбрать в качестве такой поверхности сферу, описанную из центра волны. Найдем раньше всего мгновенную плотность потока мощности, т. е. величину Пользуясь формулой (84.1), находим для расстояния от центра

Первое слагаемое, обусловленное волновым членом скорости, назовем активным потоком мощности (ср. § 39, где это понятие было введено для гармонических процессов). Второй член, обусловленный неволновым членом скорости, назовем реактивным потоком.

Реактивная мощность не дает никакого вклада в энергию, передаваемую среде окончательно. В самом деле, второй член в (90.1) можно представить в виде производной по времени от величины

Поэтому если излучение длилось в течение конечного промежутка времени, то суммарная энергия, обусловленная этим членом и сообщенная среде, равна нулю, поскольку интеграл равен нулю. Для гармонического процесса переданная в среду реактивная энергия обращается в нуль за один период. Таким образом, реактивная часть энергии не остается в среде, а переходит из

излучателя в среду и обратно. В несжимаемой средеимеется только реактивный поток.

Активная мощность существенно положительна: она накапливается в среде по мере излучения. Интеграл по времени от этой мощности и дает энергию, перешедшую в среду. Плотность активного потока мощности убывает с расстоянием как Следовательно, суммарный поток активной мощности через всю сферу от ее радиуса не зависит. Плотность реактивного потока мощности убывает быстрее: как так что полный мгновенный поток реактивной мощности убывает по мере удаления от излучателя. Однако в неволновой зоне мгновенный поток реактивной мощности превосходит по абсолютной величине поток активной мощности.

Соответственно двум компонентам мощности, часто называют два слагаемых скорости в формуле (84.1) активной и реактивной компонентами скорости по отношению к давлению. Наоборот, можно, приняв за исходную величину объемную скорость, найти активную и реактивную компоненты давления на поверхности монополя по отношению к объемной скорости (для малых ):

Суммарный мгновенный поток мощности есть

Первое слагаемое в (90.2) дает реактивную часть давления, работа которой за длительное время в среднем равна нулю, а второе слагаемое — активную часть давления, работа которой накапливается с течением времени.

В гармонической расходящейся волне плотность потока мощности равна

Первое слагаемое в скобках дает активную, а второе — реактивную часть мощности. Среднее значение плотности потока равно Таким образом, суммарная средняя мощность, излучаемая монополем, равна

Так как то эта мощность выразится через объемную скорость монополя и через линейную скорость поверхности малой пульсирующей сферы радиуса а следующим образом:

Сравним мощность излучения монополя с мощностью излучения плоской волны поршнем той же площади и

колеблющимся с той же скоростью что и поверхность пульсирующего шарика. Для того чтобы поршень излучал плоскую волну, его нужно поместить в цилиндрическую трубу того же сечения. Мощность излучения плоского поршня равна «поршня , т. е. в раз больше мощности излучения монополя. Таким образом, эффективность излучения звука в виде сферической волны пульсирующим телом, малым по сравнению с длиной волны, мала по сравнению с излучением плоской волны с той же площади излучающей поверхности.

В сходящейся бегущей волне плотность потока мощности записывается так же, как и в расходящейся волне, но с обратным знаком: вектор потока направлен к центру волны, а не наружу, как в расходящейся волне. Для суперпозиции сходящейся и расходящейся волн

плотность потока мощности равна

Последний член справа — реактивный поток мощности. При усреднении он пропадает. Средние потоки мощности сходящейся и расходящейся волн вычитаются друг из друга, так же как вычитаются потоки мощности в плоских волнах, бегущих навстречу друг другу.

В гармонических стоячих волнах (85.3) средние потоки мощности равны нулю. Интересно отметить, что в волнах распределения давлений и скоростей вблизи центра волны почти идентичны: для обеих волн давления и скорости стремятся по модулю к бесконечности по мере приближения к центру волны, причем отношения соответственных величин стремятся к единице. Тем не менее в первой волне излучение отсутствует, а во второй волне оно есть. Дело в том, что в первой волне давление и объемная скорость сдвинуты по фазе друг относительно друга точно на 90°, так что работа сил давления чисто реактивная и средняя работа равна нулю. Во втором же случае малая добавка к давлению — второй член в (90.2), — не зависящая от расстояния от центра, если это расстояние уже мало, совпадает по фазе с объемной скоростью частиц и производит активную работу.

Зная мощность излучения, можно найти затухание пульсирующего осциллятора другим способом, чем в § 89. В самом деле, при амплитуде скорости поверхности пульсирующего шарика энергия, запасенная осциллятором, равна (амплитуда кинетической энергии присоединенной массы). Секундная же потеря энергии — есть как раз мощность излучения и дается формулой (90.4). Отсюда находим

что дает закон затухания по энергии в согласии с § 89. Из (90.3) видно, что отношение амплитуды реактивной мощности на поверхности пульсирующей сферы радиуса а к средней активной мощности равно для малого излучателя это отношение весьма велико. Мощность же двигателя, приводящего излучатель в действие, должна равняться амплитуде реактивной мощности — иначе излучатель не сможет работать. Таким образом, для малых излучателей двигатель работает в основном вхолостую и на акустическое излучение идет только малая, часть развиваемой им мощности.

Используем полученные результаты для расчета затухания собственных колебаний в узкой трубе с одним открытым концом. Из сказанного в конце § 65 видно, что открытый конец можно рассматривать как монопольный источник: из него в окружающую среду периодически поступает и возвращается обратно некоторый объем среды. Так как размеры отверстия малы по сравнению с длиной волны, то наличие отверстия мало меняет скорость частиц внутри трубы. Поэтому найти количество вытекающей и втекающей среды можно, считая, что наличие излучения не влияет на скорость среды в трубе.

Обозначим амплитуду скорости частиц в пучности скорости через а площадь поперечного сечения трубы — через Объемная скорость монополя, которым можно заменить трубу, равна Согласно (90.4) излучаемая мощность равна . С другой стороны, мощность сил давления в открытом конце равна Приравнивая эти два выражения для мощности, найдем искомую вещественную компоненту проводимости открытого конца:

Например, для круглой трубы радиуса а получим Для узкой трубы проводимость открытого конца оказывается большой по сравнению с

При расчете мы предполагаем, что давление в открытом конце синфазно со скоростью. В действительности давление имеет еще и мнимую компоненту, т. е. компоненту, ортогональную к скорости (сдвинутую относительно скорости на 1/4 периода). Средняя мощность этой второй компоненты равна нулю. Ее действие заключается в некотором сдвиге собственных частот трубы: открытый конец равносилен некоторой массовой проводимости, поэтому его действие несколько повышает собственные частоты трубы. Но это изменение для достаточно узких труб очень мало. Если требуется только знать коэффициент затухания трубы с открытым концом, то этим изменением частоты можно пренебречь.

Коэффициент затухания трубы с одним абсолютно жестким концом и одним концом с большой активной проводимостью равен, согласно § 65, . Но для открытого

конца значит, коэффициент затухания в этом случае равен

С увеличением номера обертона коэффициент затухания быстро растет, а добротность падает. Наименьший коэффициент затухания (для основного тона) равен Добротность трубы с одним закрытым и одним открытым концом равна

Найдем теперь плотность энергии в сферической волне. Подставляя в (37.1) выражение (84.1) для скорости частиц, получим

Первый член равен плотности потенциальной энергии в волне.

Вплоской волне имеется только такой член. Остальные слагаемые — добавочные по сравнению со случаем плоской волны — обусловлены наличием неволновой части скорости. Последнее слагаемое — квадрат неволнового члена — всегда положительно: оно равно кинетической энергии в несжимаемой жидкости при такой же временной зависимости давления. Это видно, если положить в (90.5) (и в коэффициентах, и в выражении для давления). Среднее слагаемое — произведение волнового и неволнового членов — может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для гармонической волны его среднее значение за период равно нулю. Для непериодического движения его среднее значение за длительный промежуток времени стремится к нулю по мере увеличения времени усреднения. Таким образом, в средних величинах нужно учитывать только первый и третий члены. Следовательно, кинетическая энергия в сферической волне в среднем больше, чем потенциальная (в плоской бегущей волне эти величины равны друг другу).

По мере удаления от центра волны различие уменьшается и плотность кинетической энергии стремится к плотности потенциальной энергии, убывая вместе с ней по закону обратных квадратов расстояния от центра волны. Вблизи же центра волны, в неволновой зоне, главную долю кинетической энергии составляет положительный добавочный член; он убывает с расстоянием как

В сферически-симметричной гармонической волие имеем, согласно вышесказанному,

Среднее по времени дает

Отношение средних значений кинетической и внутренней энергии равно

Суммарная энергия, запасенная в гармонической сферической волне в сжимаемой среде, бесконечна: плотность энергии убывает как а объем сферических слоев одинаковой толщины растет при как значит, каждый такой слой добавляет к суммарной энергии в среде одинаковые слагаемые. В несжимаемой же среде суммарная энергия конечна. В самом деле, в несжимаемой среде потенциальная энергия равна нулю, а плотность кинетической энергии может быть записана в следующем виде:

где а — радиус пульсирующей сферы, создающей данную волну, амплитуда скорости ее поверхности. Интегрируя плотность кинетической энергии по всей среде снаружи сферы радиуса а, найдем

Суммарная (реактивная) энергия в несжимаемой жидкости оказывается равной энергии присоединенной массы движущейся со скоростью поверхности монополя.

В сжимаемой среде бесконечный вклад в энергию среды дает активная часть энергии. Мгновенная мощность, которую должен развивать первичный двигатель малого излучателя, определяется реактивной мощностью и равна А излученная энергия создана малой добавкой к мощности и дает большую суммарную энергию потому, что накапливается в среде, в то время как реактивная часть циркулирует, то поступая в среду из излучателя, то возвращаясь в излучатель из среды.