§ 8. Продольные плоские волны в жидкости

В предыдущих двух параграфах мы занимались довольно «экзотическими» типами волн. Теперь перейдем к чаще всего встречающимся продольным волнам, имеющим в акустике наибольшее значение: рассмотрим одномерную волну сжатия в упругой среде. Примерами могут служить плоские волны в неограниченной среде, продольные волны в газе или жидкости, заключенных в цилиндрическую трубу, продольные волны в упругом стержне.

Пусть одномерная волна сжатия бежит в жидкости в положительном направлении оси х. Характеристики этой волны одинаковы во всех точках любой плоскости, перпендикулярной к оси х, а смещения всех частиц параллельны этой оси. Частицей среды в такой волне можно считать участок среды между близкими плоскостями, перпендикулярными к оси х. Взаимодействие частиц сводится к силам давления, действующим по границам между частицами.

В рассматриваемом случае можно мысленно выделить в среде цилиндрическую трубку произвольного (например, единичного) сечения с осью, параллельной оси х, и рассматривать движение среды только внутри такой трубки, считая стенки трубки абсолютно жесткими: наличие такой трубки не нарушило бы движения среды внутри нее.

Как и в предыдущих двух примерах распространения волн, применим метод «остановки движения». В данном случае профиль волны — это график зависимости давления в среде от координаты х. Если существует система координат относительно которой профиль волны неподвижен, то движение среды относительно такой системы координат установившееся и среда в трубке протекает относительно этой системы в обратном направлении. В тех местах, где возмущение отсутствует, например в сечении В, скорость протекания среды относительно системы равна с и направлена в отрицательную сторону. В местах, где возмущение отлично от нуля, например в сечении А, скорость протекания среды с отлична от с. Если скорость частиц относительно неподвижной системы, то

Поскольку движение установившееся, к участку трубки можно применить в системе законы сохранения вещества и импульса. Согласно закону сохранения вещества при установившемся движении суммарная масса среды, вытекающей из трубки, должна быть равна нулю. Пусть среда втекает в А и вытекает из В. Обозначим невозмущенную плотность среды через а возмущенную — через относительное приращение плотности называют акустическим сжатием среды. Закон сохранения вещества запишется в виде

откуда следует

Далее, согласно закону сохранения импульса, для установившегося течения жидкости сумма приращения количества движения среды в рассматриваемом объеме за единицу времени и импульса сил давления, действующих на границы объема, равна нулю. Изменение количества движения создается средой, втекающей в А и вытекающей из В.

Так как вытекает жидкость, несущая отрицательное количество движения, то поток через В дает положительное приращение количества движение а поток через А дает отрицательное приращение количества движения

Исходное давление (например, атмосферное давление в воздухе) дает суммарный импульс, равный нулю. Акустическое давление в месте наличия возмущения (в сечении А) дает импульс . Таким

образом, закон сохранения импульса запишется в виде

Пользуясь полученными выше равенствами, найдем отсюда

Эта зависимость между акустическим давлением и акустическим 4 сжатием должна выполняться для того, чтобы законы сохранения были справедливы, т. е. для того, чтобы в системе движение было установившимся. Если бы этому требованию удалось удовлетворить при каком-либо значении с, то была бы возможна плоская продольная волна, бегущая без изменения формы, и ее скорость была бы равна этому значению с.

Однако фактически такая зависимость не выполняется ни для каких реальных веществ: во всех веществах давление растет быстрее, чем плотность, а не медленнее, как следовало бы из (8.2). Следовательно, для реальных сред желаемую систему координат найти нельзя, т. е. в реальной среде продольная плоская волна не может распространяться без изменения своей формы.