ГЛАВА IV. ЭНЕРГИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН

§ 37. Звуковая энергия

Создавая звуковую волну в покоящейся среде, мы сообщаем частицам среды кинетическую энергию и изменяем их внутреннюю энергию. Найдем плотность дополнительной энергии в волне по отношению к невозмущенному состоянию.

Плотность кинетической энергии частиц в волне равна

где плотность частицы, ее скорость. Плотность кинетической энергии — квадратичная величина относительно возмущения среды. Плотность частиц можно считать равной невозмущенной плотности среды. Погрешность будет третьего порядка малости по отношению к малому возмущению, что приведет к относительной ошибке того же порядка, что и при линеаризации уравнений гидродинамики; следовательно, такое приближение допустимо.

Вопрос о плотности внутренней энергии более сложен: только часть изменения этой энергии связана с звуковой волной. Рассмотрим, например, поршень, входящий в трубу, заполненную газом и закрытую со второго конца. При вдвигании поршня он совершит над газом положительную работу и, значит, увеличит внутреннюю энергию газа; при выдвигании поршня работа будет отрицательной, и энергия газа уменьшится. Работу А, совершаемую поршнем и равную изменению внутренней энергии, можно в обоих случаях выразить формулой

где Р — давление газа в трубе, приращение объема газа при перемещении поршня (отрицательное при вдвигании «поршня и положительное при выдвигании). Таким образом, Плотность внутренней энергии, сообщенной газу, равна

где объем трубы, среднее сжатие газа. Мы пренебрегали изменением давления в трубе при смещении поршня, считая

сжатие малым; найденная добавочная внутренняя энергия линейно зависит от возмущения.

Легко видеть, однако, что этот линейный добавок не имеет никакого отношения к звуковой волне. В самом деле, будем мы вдвигать поршень быстро или медленно, рассчитанное выше приращение внутренней энергии будет одинаково, хотя в первом случае вдоль трубы побежит звуковая волна, а во втором случае весь объем просто испытает равномерное сжатие. Нас же интересует часть энергии, связанная со звуковой волной, в которой среда сжата всегда неравномерно. Поэтому поставим задачу по другому: выясним, как меняется внутренняя энергия среды, когда одна ее часть испытывает сжатие, другая — разрежение, а объем среды в целом не меняется. Для этого рассмотрим трубу с поршнем внутри нее, заполненную газом и закрытую с обоих концов, так что суммарный объем газа сохраняется неизменным. Сместив поршень, сожмем газ в одной части трубы и разредим его в другой. Изменения внутренней энергии в обеих частях трубы окажутся, согласно (37.2), равными по абсолютной величине и противоположными по знаку. Такой расчет даст для суммарной добавочной энергии нуль.

Этот явно ошибочный результат получился потому, что мы, как и выше, не учли изменений давления в обеих частях трубы при перемещении поршня. В действительности эти изменения создадут разность давлений по обе стороны поршня и работа будет производиться против результирующей сил этих давлений. Энергия, сообщенная газу, и будет равна этой работе. Добавочная энергия — квадратичная величина по отношению к возмущению, поскольку и смещение поршня, и изменение давления величины линейные. Полученный выше нулевой результат относится только к линейным членам, которые, как теперь видно, соответствуют только перераспределению между обеими частями трубы уже имевшейся ранее в газе энергии: в одной части трубы энергия увеличится настолько же, насколько в другой уменьшится.

Найдем интересующую нас квадратичную добавку к энергии. Пусть вначале поршень располагался посередине трубы. Тогда приращения давления можно считать в обеих частях трубы одинаковыми по величине и отличающимися только знаком (более точный расчет учитывал бы уже и члены третьего порядка, которыми мы будем пренебрегать, как и выше, при определении кинетической энергии).

Давление в одной половине трубы изменится от Р до а во второй — от Р до При малом перемещении поршня можно принять с достаточной степенью точности, что работа производится на всем перемещении против среднего давления для каждой половины трубы; против давления в одной половине и против давления в другой половине. Таким

образом, суммарная работа выразится формулой

Линейные члены, соответствующие перераспределению энергии, сокращаются. Квадратичные члены положительны для обеих половинок трубы, они и дают добавку энергии, вызванную неравномерностью сжатия среды. Сокращающиеся линейные члены мы впредь рассматривать не будем и будем условно приписывать каждой половинке трубы в качестве приращения внутренней энергии только эту квадратичную добавку. Суммарное приращение энергии окажется найденным правильно, а перераспределение энергии никакой дополнительной работы не требует и из рассмотрения вообще выпадает.

Таким образом, плотность (условную в указанном смысле) внутренней энергии в каждой половинке трубы можно записать в виде

где теперь — объем половины трубы.

Наконец, пользуясь зависимостью между получим

где сжимаемость среды. Обратим внимание на то, что в несжимаемой среде внутренняя акустическая энергия равна нулю.

Если суммарный объем интересующей нас массы газа меняется, то, разумеется, необходимо учитывать и линейный член: в этом случае он не будет равен нулю. Интересно рассмотреть пример, связанный с оценкой энергии, выделяющейся при взрыве. Продукты взрыва вытесняют атмосферный воздух и, расширяясь до атмосферного давления, производят работу, равную этому атмосферному давлению, умноженному на объем продуктов взрыва. Это как раз и есть линейная часть энергии, выражаемая через объем продуктов взрыва.

Известен рассказ, что Энрико Ферми оценил энергию первого взрыва атомной бомбы в Аламогордо, наблюдая, насколько снесло звуковой волной, пришедшей от взрыва, бумажки, которые он выпускал из рук, давая им свободно падать в ожидании прихода волны. Такую оценку можно произвести следующим образом. Смещение I бумажки соответствует перемещению полусферического слоя атмосферы, находящегося от взрыва на расстоянии, которое обозначим Значит, суммарный объем, вытесненный взрывом, составлял Это приращение объема нужно умножить на атмосферное давление результате получится линейная

часть работы (осложнения, связанные с переменностью атмосферного давления по высоте, можно при грубой оценке игнорировать). Ферми находился примерно на расстоянии от места взрыва. Бумажки были снесены примерно на Значит, вытесненный объем составлял Атмосферное давление равно 106 бар. Значит, работа против атмосферного давления, совершенная взрывом, была равна Но энергетический эквивалент взрыва тротила равен примерно 1000 ккал Значит, указанная энергия соответствует взрыву тонн тротила, что хорошо согласуется с известной цифрой 20 000 тонн тротилового эквивалента для бомбы этого типа.