§ 33. Пространственный спектр по плоским волнам для любого распределения давления на плоскости

Вернемся к выражению (31.2) для спектра волны, соответствующего на плоскости двухмерной волне давлений Если скорость этой двухмерной волны меньше с, т. е. то (31.2) по-прежнему можно считать. спектром, но теперь этот спектр — неоднородная волна

бегущая вдоль плоскости и экспоненциально убывающая при удалении от плоскости. Чем больше т. е. чем меньше длина волны распределения давления на плоскости, тем, при данной частоте, быстрее спадает давление при удалении от плоскости.

Рис. 33.1. При изменении частоты волновой вектор спектра для данного гармонического распределения на плоскости поворачивается так, что его проекция на ось х остается неизменной.

Пусть волновое число двухмерной волны на плоскости фиксировано; выясним, как меняется соответствующий ей пространственный спектр при изменении частоты. На рис. 33.1 показано изменение волнового вектора спектра при изменении частоты от бесконечности (угол скольжения равен при этом 90°) до значения (угол скольжения равен нулю).

При еще меньших частотах спектр делается неоднородным и волна бежит вдоль плоскости, экспоненциально спадая в направлении, перпендикулярном к ней. При стремлении частоты к нулю спектр приобретает асимптотически форму

Такое же распределение давлений получилось бы при абсолютной несжимаемости жидкости.

Обратим внимание на то, что при неоднородном спектре поверхность не излучает звука, возмущение сконцентрировано вблизи плоскости, вдоль которой бежит неоднородная волна. В несжимаемой среде излучения звука нет никогда, но в данном случае жидкость, хотя и сжимаема, ведет себя в этом отношении, как несжимаемая: частицы только перетекают под действием

разности давления между местами с большим и меньшим давлением, и возмущение вдаль не передается.

Вообще, во всех случаях, когда характерные размеры неоднородности поля малы по сравнению с длиной волны, поведение жидкости близко к тому, как вела бы себя несжимаемая среда.

Найденным спектрам легко дать наглядную интерпретацию. Мысленно разрежем плоскую волну данной частоты с волновым вектором к плоскостью, составляющей с ее волновым вектором угол Следом данной волны на плоскости разреза явится бегущая волна с волновым числом . Удалим среду в полупространстве, откуда приходит волна, а ее действие заменим заданием на секущей плоскости того распределения давлений, которое было в самой плоской волне. Тогда картина во втором полупространстве не изменится и в нем по-прежнему будет распространяться волна, являющаяся спектром по отношению к распределению давлений на плоскости. Этим же способом можно интерпретировать и неоднородные спектры: они получатся приу «разрезании» среды, в которой бежит неоднородная волна, плоскостью, перпендикулярной к фронтам неоднородной волны.

Теперь легко найти спектральное представление в виде суперпозиции плоских волн для поля, соответствующего любому периодическому распределению давления на плоскости, меняющемуся по гармоническому закону. Пусть поле на плоскости зависит только от координаты

Обозначив для удобства можем записать разложение в ряд Фурье функции в виде

Каждому слагаемому ряда сопоставим спектр, приписывая ему соответственный номер

Следовательно, поле в пространстве, имеющее на плоскости гармонически зависящее от времени распределение имеет вид,

Действительно, это — поле, уходящее от плоскости и обращающееся в заданное распределение давления при

Поле представлено в виде набора спектров - плоских волн, из которых, однако, распространяющимися будут не все, а только те, для которых Угол скольжения

распространяющегося спектра номера относительно плоскости тем меньше, чем выше номер спектра:

Остальные спектры нераспространяющиеся: это неоднородные волны, бегущие вдоль оси х и затухающие экспоненциально вдоль оси чем выше номер затухающего спектра, тем больше затухание. Затухающие спектры образуют так называемое «ближнее поле»; оно заметно только вблизи плоскости. Вдали заметны только распространяющиеся спектры, для которых длины волн компонент разложения Фурье на плоскости больше длины волны данной частоты в среде. Таким образом, мелкие детали распределения давления на плоскости, которым соответствуют компоненты разложения малой длины волны, окажутся потерянными: звуковая волна может перенести на расстояние только те детали, которые крупнее длины волны звука данной частоты. Если вся структура распределения мельче длины волны звука, т. е. то распространяться вдаль от плоскости будет только нулевой спектр отвечающий постоянной составляющей в распределении давления по плоскости. Никаких сведений о «тонкой структуре» поля на плоскости он не понесет, и вдали от плоскости можно будет установить только факт наличия гармонического поля.

Аналогично решается задача о «пристраивании» поля в полупространстве к непериодическому по координате полю на плоскости, если это распределение можно разложить в интеграл Фурье. Пусть

Тогда поле в пространстве можно представить в виде непрерывного спектра волн:

Этот интеграл можно разбить следующим образом:

В первых двух интегралах суммируются неоднородные волны, дающие ближнее поле. Третий интеграл составлен из распространяющихся волн, уходящих от плоскости. На большом расстоянии существен только этот последний член; но вблизи от плоскости вклад неоднородных волн может доминировать.

Наконец, рассмотрим распределения давления на плоскости зависящие от обеих координат Если данное распределение давления на плоскости разлагается в двойной ряд Фурье вида

то, как легко видеть, поле в полупространстве, имеющее следом на данной плоскости данное распределение, равно двойной сумме:

В числе спектров распространяющиейся — только те, для которых Направляющие косинусы их волновых векторов равны . Спектры, для которых неоднородные; они бегут вдоль плоскости и экспоненциально затухают вдоль оси