§ 145. Влияние граничащей среды на поверхностные волны

Как действует толща океана на рэлеевскую волну, бегущую по дну? Нормальные смещения дна в рэлеевской волне создают в воде звуковые волны, но реакция водной среды также должна каким-то образом воздействовать на рэлеевскую волну. Расчет такого воздействия довольно сложен; но само явление влияния граничащей среды на волну, распространяющуюся вдоль поверхности, возникает и в других, более простых случаях. Поэтому рассмотрим качественную сторону влияния среды на простой модели: влияние граничащей жидкости на волну, бегущую по натянутой мембране.

Пусть поверхностная плотность мембраны равна Рассмотрим поперечные плоские волны, бегущие на мембране в направлении оси х. Натяжение по оси х мембраны в расчете на один погонный сантиметр в направлении оси обозначим через Т. В отсутствие жидкости уравнение одномерного движения мембраны имеет вид

где и — поперечное смещение точек мембраны в направлении оси Скорость волн на мембране в этом случае равна а гармоническую волну, бегущую по мембране, можно записать в виде где дисперсия отсутствует.

Теперь предположим, что мембрана граничит одной стороной с жидкостью, плотность которой равна и скорость звука Будем искать плоские волны частоты , которые могут распространяться по такой «нагруженной» мембране в виде где величину предстоит определить.

Волна поперечных смещений и на плоскости вызовет в жидкости плоскую волну давлений вида амнлитуда которой определится из граничного условия на поверхности мембраны: -компонента смещений частиц в жидкости при должна равняться Это дает откуда находим амплитуду волны в среде:

Уравнение движения мембраны, граничащей с жидкостью, отличается от уравнения для свободной мембраны добавочной силой:

давлением среды, и принимает вид

Для гармонической волны получим отсюда

или

Это и есть дисперсионное уравнение для волн на мембране граничащей с жидким полупространством. Дисперсионное уравнение удобно представить в вйде

и решать графически.

Рис. 145.1. а и б - соответственно графики левой и правой части уравнения (145.2); кривые соответствуют меньшим значениям большей частоте), чем кривые а.

На рис. 145.1 линии а изображают зависимость левой части уравнения (145.2) от (ветви с положительными с отрицательным значением корня), а параболы и - зависимости правой части уравнения для случая (скорость свободных волн на мембране больше скорости волн в среде) и для случая В обоих случаях есть точка пересечения параболы с верхней ветвью кривой а. Из построения очевидно, что в обоих случаях абсцисса точки пересечения, т. е. искомое значение лежит правее единицы и правее нулей кривых соответствующих значениям Следовательно,

искомое значение удовлетворяет неравенствам решения соответствуют неоднородным волнам в жидкости — поверхностным волнам, бегущим вдоль мембраны медленнее волн на ненагруженной мембране и убывающим экспоненциально при удалении от мембраны. Так как реакция неоднородной волны на мембрану в данном случае носит массовый характер, то ее действие равносильно некоторой присоединенной массе, что и объясняет замедляющее действие неоднородной волны, которую «тянет» за собой волна на мембране.

Но в случае есть еще и комплексное решение для Его легче всего найти для случая, когда величина мала по сравнению с единицей («легкая среда»). Такое решение будем искать в виде

где Подставляя в (145.1), получим

Возводя в квадрат обе части уравнения, имеем

Разделяя вещественные и мнимые части, найдем

Из второго уравнения следует, что имеет порядок Следовательно, поправка к скорости распространения — второго порядка малости по сравнению с малым коэффициентом затухания волны Учитывая это обстоятельство, получим приближенно из первого уравнения

и из второго уравнения

В этом случае, как видно из формул, скорость растет (во втором порядке малости) в результате реакции среды, а излучение волн приводит к затуханию волны, бегущей на мембране.

Заметим, что при дисперсионное уравнение может иметь еще два вещественных решения для , соответствующих неоднородным волнам (эти решения показаны как пересечения кривой на рис. 145.1 с нижней ветвью кривой а), но эти решения соответствуют неоднородным волнам, нарастающим при удалении от мембраны, и поэтому не могут создаваться волной, бегущей по мембране.