§ 149. Монополь в твердой среде

Потенциал смещений, создаваемый в твердой среде гармоническими пульсациями сферы, т. е. потенциал гармонического монополя, имеет вид

Смещение и и скорость частиц и имеют соответственно вид

Отсюда видно, что объемная скорость V монополя (определяемая, как и для жидкостей, соотношением связана с коэффициентом А формулой

так что потенциал можно записать в виде

Смещение и скорость частиц выразятся через объемную скорость так:

Нормальное напряжение на сфере радиуса найдем из (148.2):

Из этих формул можно найти мощность, излучаемую монополем, имеющим заданную объемную скорость. Для этого на сфере любого радиуса найдем импеданс данной волны Средняя за период плотность потока мощности будет равна вещественной части импеданса, умноженной на половину квадрата модуля скорости частиц на выбранной сфере.

Импеданс на сфере равен

Квадрат модуля скорости частиц есть

Таким образом, полная излучаемая мощность составит

Эта формула совпадает с выражением для средней мощности, излучаемой монополем в жидкой среде.

При вычислении мощности можно было бы рассмотреть поле волны на большом расстоянии от центра волны и взять асимптотические выражения для напряжения и скорости частиц. Это дает

выражения

Таким образом, вдали от источника напряжение и скорость синфазны (и различаются знаками). Значит, при нахождении мощности можно просто взять половину произведения модулей напряжения и скорости, и это даст, после умножения на поверхность сферического фронта, проходящего через данную точку, среднюю излучаемую мощность. Это снова приведет ктой же формуле (149.3).

Рассмотрим подробно зависимость вещественной и мнимой частей импеданса от частоты и радиуса (точнее, от произведения Вещественная часть импеданса ведет себя в точности так же, как и для жидкой среды. Но поведение мнимой части совершенно другое. При малом радиусе реактивная часть импеданса равна приближенно

т. е. имеет характер упругости, в противоположность случаю жидкой среды, где реактивная часть импеданса имеет массовый характер (присоединенная масса). При стремлении к нулю импеданс стремится к бесконечности. Это значит, что при понижении частоты или уменьшении радиуса излучателя среда ведет себя по отношению к излучателю как все более жесткое тело. Это снова противоположно поведению жидкости, которая ведет себя в таком случае как все более мягкое тело: реактивная часть импеданса на поверхности малого пульсирующего шарика, логруженного в жидкость, есть — грог и эта величина стремится к нулю при .

Дальнейшее поведение мнимой части импеданса при увеличении частоты зависит от коэффициента Пуассона. Если коэффициент Пуассона меньше 1/3, то, согласно (139.6), и реактивная часть импеданса сохраняет характер упругости при любой частоте. Но при величина отрицательна, и поэтому при увеличении частоты упругий импеданс уменьшается, обращается в нуль, а затем меняет знак, превращаясь в импеданс массового типа. Частоту, при которой мнимая часть импеданса обращается в нуль, можно рассматривать как резонансную частоту вынужденных колебаний сферической полости данного радиуса в которую помещен излучатель, создающий вынуждающую силу. Условие резонанса имеет вид

что, согласно § 139, можно записать еще и так:

При резонансной частоте полости звуковая энергия излучается в среду самым выгодным образом: вся мощность излучателя расходуется только на излучение и требуемая реактивная мощность равна нулю. Импеданс среды равен при этом

Особенно интересен случай водоподобных сред 1/2). Тогда при резонансной частоте , т. е. на дуге большого круга полости укладываются две длины сдвиговой волны. При абсолютной несжимаемости среды при резонансе точно Вещественная часть импеданса в несжимаемой среде равна нулю при любой частоте; таким образом, в несжимаемой среде полный импеданс полости при резонансной частоте равен нулю, излучение отсутствует, и, следовательно, такая полость может совершать свободные незатухающие колебания.

Обратим внимание на сходство колебания пустой полости в водоподобной твердой среде и газового пузырька в жидкости. Роль упругости газа играет сдвиговая упругость среды. Размер резонансной полости (в отличие от резонансной сферы, см. § 148) мал по сравнению с длиной продольной волны, хотя колебания в среде чисто продольные. В следующем параграфе мы увидим, что сходство распространяется и на свободные колебания полости и на рассеяние ею продольных волн.