§ 46. Отражение от «сосредоточенной массы» и прохождение через нее

Перейдем теперь к изучению различных конкретных видов препятствий.

Акустика принципиально отказывается рассматривать абсолютно несжимаемые тела. Однако в некоторых задачах оказывается, что сжимаемость того или иного из рассматриваемых тел практически роли не играет; тогда в данной задаче это тело можно рассматривать как несжимаемое. Такова ситуация при нормальном падении гармонической волны из какой-либо среды на пластину (жидкую или твердую — безразлично), граничащую второй стороной с вакуумом, при условии, что толщина пластины мала по сравнению с длиной волны данной частоты в материале пластины.

В этом случае пластину можно приближенно считать несжимаемой и движущейся под действием падающей волны как целое. Тогда толщина пластины несущественна, и всю ее массу можно считать сосредоточенной на ее границе со средой. Так приходим к понятию препятствия в виде сосредоточенной массы. Сосредоточенную массу можно охарактеризовать поверхностной плотностью равной плотности вещества пластины, умноженной на ее толщину т. е.

Найдем импеданс и проводимость такого препятствия. Согласно закону Ньютона уравнение движения такой пластины при воздействии на нее равномерно распределенного давления есть

Для гармонического закона изменения давления частоты

откуда найдем импеданс и проводимость сосредоточенной массы:

Импедансоказался чисто мнимым отрицательным, а проводимость — чисто мнимой положительной; поэтому и о всяком препятствии с чисто мнимым отрицательным импедансом или чисто мнимой положительной проводимостью (как бы они ни зависели от частоты) говорят, что оно имеет массовый характер.

Относительный импеданс равен

Коэффициент отражения от препятствия в виде сосредоточенной массы выражается, согласно (45.4), так:

Модуль коэффициента отражения от сосредоточенной массы оказывается равным единице для любой среды при любой величине поверхностной плотности и при любой частоте. При низкой частоте импеданс данной сосредоточенной массы мал, коэффициент отражения близок к и препятствие ведет себя подобно свободной границе. На высоких частотах импеданс велик, коэффициент отражения близок к и препятствие ведет себя как жесткая стенка. Термины «малая» и «большая» частота означают выполнение неравенств соответственно. Фаза коэффициента отражения дается формулой

Фаза растет от до с увеличением частоты от нуля до бесконечности.

Тонкую пластину иногда можно считать сосредоточенной массой и в том случае, когда позади пластины не вакуум, а какое-либо другое препятствие. (Критерий допустимости такого предположения дадим в § 49.) В этом случае говорят, что сосредоточенная масса нагружена на некоторое препятствие. Пусть импеданс этой нагрузки равен Найдем импеданс препятствия в целом. Так как пластину считаем несжимаемой, то скорость ее задней стенки можно принять равной скорости передней стенки. Вместо формулы (46.1) теперь получим

где давление на задней стороне пластины. Но уравнение (46.6) примет вид

откуда найдем искомый импеданс:

Таким образом, импеданс нагрузки на сосредоточенную массу прибавляется к импедансу сосредоточенной массы в отсутствие нагрузки. Если нагрузка — полубезграничная среда, граничащая с пластиной сзади, то входной импеданс препятствия равен

Пользуясь (45.4), получим коэффициент отражения в виде

Коэффициент отражения по модулю оказывается меньше единицы:

(энергия падающей волны частично переходит во вторую среду).

Найдем коэффициент прохождения звука. Скорость пластины равна

Такова же и амплитуда скорости частиц во второй среде. Но во второй среде имеется только бегущая волна. Значит, давление во второй среде имеет амплитуду

и прошедшая волна имеет вид

Очевидно, что при прохождении звука через сосредоточенную массу выполняется закон сохранения энергии: сумма потоков мощности отраженной и прошедшей волн, уносящих энергию от препятствия, равна потоку мощности в падающей волне, несущей энергию к препятствию:

Если среда позади пластины та же, что и спереди, то коэффициенты отражения и прохождения выразятся формулами

Отраженная и прошедшая энергии окажутся равными друг другу при условии

В архитектурной акустике весьма важен вопрос о «звукоизоляции» перегородок, характеризующей уменьшение интенсивности звука при прохождении через перегородку. Если считать перегородку сосредоточенной массой, то для нормального падения звука отношение потоков энергии в прошедшей и в падающей волнах равно

Для того чтобы получить изоляцию порядка 40 дб (хорошая межквартирная изоляция), должно быть Для

воздуха значит, например, для частоты 1000 гц такую звукоизоляцию могла бы создать перегородка с поверхностной плотностью всего На практике перегородка гораздо большей массы создает гораздо меньшую звукоизоляцию. Значит, картину передачи звука через перегородку нельзя аппроксимировать рассмотренной выше схемой одномерного распространения звука при нормальном падении на одиночное препятствие.