§ 47. Отражение от «сосредоточенной упругости» и прохождение через нее

Акустика принципиально отказывается рассматривать тела без массы. Однако в некоторых задачах оказывается, что масса какого-либо из рассматриваемых тел практически не играет роли; тогда в данной задаче можно рассматривать это тело как не имеющее массы. Такова ситуация при нормальном падении гармонической волны из какой-либо среды на пластину (жидкую или твердую — безразлично), опертую задней стенкой на абсолютно жесткую стенку, при условии, что толщина пластины мала по сравнению с длиной волны данной частоты в материале пластины. В этом случае пластину можно считать находящейся в состоянии статического сжатия или растяжения и считать деформацию пластины, а значит, и возникающие силы давления одинаковыми по всей толщине пластины. Так приходим к понятию препятствия в виде сосредоточенной упругости.

Если к поверхности такого препятствия приложить давление то пластина сожмется на величину, пропорциональную давлению (закон Гука). Обозначая смещение передней стенки пластины через можем записать связь между давлением и смещением в виде уравнения

где х - коэффициент упругости пластины для испытываемой ею деформации сжатия в расчете на единицу площади препятствия. Если модуль упругости материала пластины есть Е, а толщина пластины то Уравнение (47.1) есть граничное условие на поверхности сосредоточенной упругости. Для гармонического движения где скорость передней стенки пластины, и уравнение можно записать в виде

Значит, импеданс и проводимость сосредоточенной упругости равны соответственно

Импеданс оказался чисто мнимым положительным, а проводимость — чисто мнимой отрицательной; поэтому и о всяком

препятствии с чисто мнимым положительным импедансом или с чисто мнимой отрицательной проводимостью (как бы они ни зависели от частоты) говорят, что оно имеет характер упругости. Для препятствий упругого типа удобно пользоваться проводимостью, а не импедансом. Относительная проводимость сосредоточенной упругости равна

где модуль объемной упругости среды.

Коэффициент отражения от сосредоточенной упругости выразится, согласно (45.3), формулой

Амплитуда коэффициента отражения равна единице. Частотный ход отражения — обратный случаю сосредоточенной массы, граничащей с вакуумом. При низкой частоте мала проводимость, коэффициент отражения близок к и препятствие ведет себя подобно абсолютно жесткой границе. На высоких частотах велика проводимость, коэффициент отражения близок к +1 и препятствие ведет себя как свободная граница. Термины «малая» и «большая» частота означают выполнение неравенств и сор соответственно. Фаза в коэффициента отражения равна

Фаза растет от 0 до по мере роста частоты от нуля до бесконечности.

То, что сосредоточенная упругость ведет себя на низкой частоте как абсолютно жесткая стенка, не значит, что на этих частотах уменьшаются смещения поверхности препятствия при той же самой амплитуде приложенного давления: эти смещения вообще от частоты не зависят. К нулю стремится с частотой скорость поверхности препятствия; это и определяет поведение препятствия с акустической точки зрения, т. е. отражение от препятствия. В статике определяющим является смещение, а в акустике — скорость.

Тонкую пластину иногда можно рассматривать как сосредоточенную упругость и в том случае, когда позади пластины не абсолютно жесткая стенка, а какое-либо другое препятствие (критерий допустимости такого предположения дадим в § 49). Найдем проводимость препятствия в виде сосредоточенной упругости, нагруженной на второе препятствие с проводимостью

В этом случае давление внутри пластины выразится формулой

где — смещение задней стенки пластины. Но

где и скорости передней и задней стенок пластины. Кроме того, Формулу (47.7) можно привести к виду

откуда

Таким образом, проводимость нагрузки на сосредоточенную упругость складывается с проводимостью сосредоточенной упругости, опертой на стенку с нулевой проводимостью.

Если нагрузкой является полубесконечная среда, граничащая с задней стенкой пластины, то проводимость на передней стенке пластины равна

В этом случае коэффициент отражения равен (см. (45.2))

и его модуль меньше единицы:

{так как волна проходит и во вторую среду позади пластины).

Аналогично расчетудля сосредоточенной массы найдем коэффициент прохождения:

В этом случае модуль коэффициента прохождения также можно было бы найти при помощи закона сохранения энергии, используя (47.10).

Если среда позади пластины та же, что и спереди, то коэффициенты отражения и прохождения равны

Отраженная и прошедшая энергии равны друг другу при условии