§ 119. Индикаторные диаграммы для частицы среды

Мы видели, что для расчета коэффициента затухания нужно знать мощность диссипативных напряжений в единице объема среды, равную — а также плотность энергии Е в среде. Эти величины наглядно представляются при помощи индикаторных

диаграмм для частицы среды. Индикаторная диаграмма — это график зависимости давления от степени сжатия среды. Диаграмма изображает графически работу, совершаемую над частицей силами давления со стороны окружающей среды, в расчете на единицу объема.

Рис. 119.1. а) Индикаторная диаграмма статического давления диссипативного давления и результирующего давления Уточненная индикаторная диаграмма диссипативного давления для волны, затухающей с течением времени.

Построим раньше всего индикаторную диаграмму для статического давления Статическое давление всегда находится в фазе со сжатием и пропорционально ему: где статическая сжимаемость среды. Индикаторная диаграмма изображается прямой линией (рис. 119.1, а). Котангенс угла наклона графика равен сжимаемости При изменении сжатия изображающая точка на графике, дважды пробегает его: один раз в одном направлении и другой раз — в обратном.

Работа сил давления над частицей при изменении сжатия от до равна и изображается площадью соответственного столбика диаграммы (на рисунке — заштрихованный столбик). При прохождении диаграммы вправо и влево значения повторяются, а значения меняют знаки. Поэтому работа за полный цикл колебания оказывается равной нулю. Это означает, что, как нам уже было известно, работа сил статического давления за период равна нулю, т. е. эти силы не вызывают поглощения звука.

Предположим теперь, что имеется еще добавочное давление отстающее по фазе относительно сжатия на четверть периода. Это значит, что мнимость равна мнимости — т. е. величина вещественна и положительна. На рис. 119.1, а изображена пунктиром диаграмма и этого добавочного давления Она представляет собой эллипс с осями, направленными по осям координат диаграммы. Изображающая точка обходит эллипс по часовой стрелке. Наконец, на том же рисунке изображена диаграмма суммарного давления имеющая вид эллипса с наклонными осями, который также обходится изображающей точкой по часовой стрелке. Элементарная работа суммарного давления

каждый раз изображается столбиком, но при прохождении изображающей точки вперед и назад высоты столбиков будут различны: при прохождении вправо (положительная работа) площадь столбика больше, чем при прохождении влево (отрицательная работа). В итоге за один обход эллипса за один период, суммарная работа будет положительна: она изобразится площадью этого эллипса. Но, как легко видеть, площади эллипсов равны друг другу. Поэтому для нахождения работы диссипативных сил можем пользоваться диаграммой для q (пунктирный эллипс).

Заметим, что, помимо диссипативного давления, динамическая добавка может содержать слагаемое, синфазное со сжатием, т. е. являющееся, как и статическое давление, упругим напряжением. В дальнейших расчетах будем обозначать такую добавку через а результирующее упругое давление, находящееся в фазе со сжатием, — через Индикаторная диаграмма для результирующего упругого давления, так же как и для статического давления, изображается прямой линией; отличие заключается только в угле наклона. На рис. 119.1 добавка не показана. Скорость звука определяется через сжатие и результирующее упругое давление формулой

Обозначим амплитудные значения сжатия упругого давления и диссипативного давления через соответственно. Тогда полуоси пунктирного эллипса на рис. 119.1 равны следовательно, площадь этого эллипса (работа диссипативных сил за один период равна Значит энергия, диссипированная за 1 сек, т. е. мощность диссипативных сил, выразится формулой

С другой стороны, средняя плотность энергии в гармонической звуковой волне равна Значит, согласно (117.3), временной коэффициент затухания равен

Пространственный коэффициент затухания найдем из (117.5):

Итак, задача определения временного и пространственного коэффициентов затухания звука свелась к нахождению диссипативного добавочного давления, соответствующего данномудинамическому упругому давлению.

Не всегда диссипативные силы выражаются скалярной динамической добавкой к давлению. Например, вязкие силы

характеризуются тензором напряжений: кроме нормальных напряжений (давлений), вязкость создает также и касательные напряжения. Тем не менее и в этом случае возможно ввести эффективное добавочное диссипативное давление и снова вычислять коэффициенты затухания по формулам (119.2) и (119.3). В самом деле, пусть есть тензор вязких напряжений. Как известно из гидродинамики, элементарная работа этих напряжений над частицей выражается так: где приращение тензора деформаций данной частицы. Но в гармонической волне все линейные величины пропорциональны друг другу. В частности, тензор деформаций пропорционален сжатию: Элементарную работу диссипативных сил над частицей можно поэтому записать так:

где введено обозначение эту величину можно считать эффективным значением диссипативного давления. Работа сил вязкости за период получится как площадь индикаторной диаграммы (эллипса), полуоси которого равны амплитудным значениям величин

В приведенных расчетах затухания мы неявно делали одно предположение: мы все время предполагали, что затухание за один цикл мало. В самом деле, по мере затухания амплитуда колебания уменьшается и, следовательно, изображающая точка на индикаторной диаграмме движется фактически не по эллипсу, а по эллиптической спирали, и вместо площади эллипса следует брать площадь, показанную на рис. 119.1, б. Но если затухание за один цикл мало, то эти площади мало различаются и нашим расчетом можно пользоваться. Практически это требование выполняется почти всегда.