§ 41. Отражение от идеальных границ. Метод мнимых изображений

Простейшие виды препятствий — это «свободная граница» (абсолютно мягкая поверхность) и «закрепленная» граница (абсолютно жесткая поверхность). Такие границы будем называть идеальными.

Пусть свободная граница совпадает с плоскостью . Граничное условие требует, чтобы в этой точке обращалась в нуль сумма давлений в падающей и отраженной волне: Следовательно,

Волна давлений отражается от свободной границы, не меняя зависимости от времени, но изменив знак на обратный. При этом пространственное распределение давления вдоль оси z изменяется на зеркально обращенное, так как отраженная волна бежит навстречу падающей. Скорости частиц в обеих волнах равны соответственно

так что волна скоростей отражается от свободной границы также без изменения формы, но, в отличие от волны давления, и без изменения знака. Отсюда следует, что суммарная скорость частиц на свободной границе вдвое больше скорости в падающей волне.

Найденная нами отраженная волна вместе с падающей обращают давление в нуль в точке , в то время как граничное

условие требует обращения давления в нуль на самой свободной поверхности, которая под действием падающей волны колеблется вблизи точки а не совпадает с ней все время. Значит, при нахождении отраженной волны мы делаем некоторую ошибку, относя граничное условие к поверхности препятствия в отсутствие волны. Такую же ошибку будем делать и во всех других случаях более или менее податливых препятствий. Однако это ошибка того же порядка, что и допускаемая при линеаризации уравнения движения или уравнения непрерывности: она заключается в пренебрежении изменением той или иной величины, характеризующей волну, на расстоянии, равном перемёщению частиц в волне. Пока волны можно вообще рассматривать в линейном приближении, такое пренебрежение допустимо.

Для падающей гармонической волны отраженная волна равна Суммарное давление и скорость равны соответственно Это — поле стоячей волны с амплитудой давления 2 и с узлом на границе. В вещественной записи

Амплитуда давления и амплитуда скорости частиц распределены в суммарном поле по закону косинуса. Пространственное распределение амплитуд давления сдвинуто относительно распределения амплитуд скоростей на четверть волны к границе.

Практически свободной можно считать границу твердой или жидкой среды не только с вакуумом, но и с газом, если только давление газа не слишком велико (требуется, чтобы плотность газа была мала по сравнению с плотностью конденсированной среды). Такова, например, для подводного звука свободная поверхность воды (например, в море). При нормальном падении звука из воды на свободную поверхность результирующее давление на границе с атмосферой меньше 0,0006 от давления в падающей волне, что практически всегда пренебрежимо мало. В газе осуществить свободную границу для плоской волны нельзя.

Для абсолютно жесткой границы в нуль должна обращаться суммарная нормальная скорость частиц границы:

Значит

т. е. волна давлений отражается, не меняя ни формы, ни знака. Давление на границе оказывается удвоенным по сравнению с

давлением в падающей волне, Волна скорости частиц при этом отражается без изменения формы, но с обратным знаком.

Для гармонической волны падающей на жесткую границу, отраженная волна есть и суммарное поле представляется в виде

Поле снова есть стоячая волна с удвоенной амплитудой. На границе оказывается пучность давлений. Распределение давлений сдвинуто относительно распределений скоростей на четверть волны от границы назад.

Реальное осуществление абсолютно жесткой границы для жидкостей и для твердых сред весьма затруднительно. Абсолютно жестких тел в природе нет — речь может идти только о большей или меньшей жесткости ограничивающей среды по сравнению со средой, в которой распространяется звук. Для газов при нормальном давлении, ввиду большого различия плотностей, по крайней мере при не слишком «скользящем» падении волны, границу с жидкостью или твердым телом с достаточной степенью точности можно считать абсолютно жесткой; практически это значит, что на такой границе нормальная компонента результирующей скорости частиц много меньше этой компоненты в падающей волне. В самом деле, например, для нормального падения звука из воздуха на водную поверхность результирующая скорость частиц у границы (а значит, и скорость границы) меньше, чем 0,0006 скорости частиц в падающей волне.

Отражение от идеальных границ часто бывает удобно интерпретировать при помощи метода мнимых изображений. Пусть требуется найти звуковое поле, создаваемое заданными источниками звука в среде, занимающей полупространство, ограниченное абсолютно жесткой плоской стенкой. Мысленно уберем стенку, заполним второе полупространство той же средой и разместим во втором полупространстве в симметричных относительно стенки точках такие же источники звука, как и в данном, как бы зеркально отразив их в плоскости стенки. Старые и новые источники вместе создадут в получившейся неограниченной среде поле, симметричное относительно плоскости стенки. Поэтому на плоскости симметрии нормальные скорости частиц будут равны нулю. Но это и есть условие абсолютной жесткости стенки — следовательно, поле в данном полупространстве осталось таким же, как и при наличии стенки.

Зеркально отраженные источники называют мнимыми источниками, а прием замены поля в ограниченном пространстве полем в неограниченном пространстве, создаваемом помимо заданных источников еще и мнимыми источниками, называют методом мнимых изображений. Отраженная волна — это поле, создаваемое

в исходном полупространстве мнимыми источниками, расположенными во втором полупространстве.

Аналогично задачу о поле в полупространстве, ограниченном абсолютно мягкой стенкой, можно заменить задачей о поле в безграничном пространстве, но в этом случае мнимые изображения должны работать в противофазе с данными источниками, создавая в точках плоскости стенки давления, равные по величине и противоположные по знаку давлениям, создаваемым действительными источниками. Например, подводный источник звука создает в море такое же поле, какое создавали бы в безграничном водном пространстве данный источник и его отражение в водной поверхности, работающее в противофазе.

Эхо, слышимое при отражении звука от стены, можно рассматривать как звук, пришедний от мнимого источника, расположенного в симметричной точке позади стены, при условии, что стена была бы убрана. Запаздывание эхо относительно исходного звука — это как раз время, требующееся для пробега звука от мнимого источника (двойное расстояние до стенки).

Найденные нами волны, отраженные абсолютно мягкой и абсолютно жесткой стенками можно рассматривать как мнимые зеркальные изображения падающей волны в абсолютно мягкой и в абсолютно жесткой стенке.

Пусть в неограниченной среде имеется расположение источников, симметричное относительно некоторой плоскости. Тогда эту плоскость можно считать абсолютно жесткой границей. Пожалуй, это единственный случай реального осуществления идеально жесткой плоской границы. Следует, конечно, иметь в виду, что граница [является абсолютно жесткой только для данного поля, и при нарушении строгой симметричности источников плоскость симметрии перестает быть идеальной границей. Аналогично, плоскость симметрии, разделяющая симметричные источники, работающие в противофазе, можно считать для данного поля свободной поверхностью. В таком поле «свободная» поверхность осуществляется и для газа.