§ 32. Неоднородные плоские волны

Итак, будем искать гармонические волны, след которых на какой-нибудь плоскости есть синусоидальная волна, бегущая медленнее плоской волны в среде. Для простоты рассмотрим сначала плоскую задачу, считая, что движение частиц происходит в плоскости и не зависит от координаты у. Тогда уравнение (22.2) можно записать в виде

Будем искать решение в виде считая, что Подставляя в (32.1), получим уравнение для

Решая это уравнение, находим

где положено Очевидно, всегда Таким образом, искомая неоднородная волна имеет вид

причем

В отличие от однородных плоских волн, эту волну нельзя представить как одномерную: ее фронты совпадают с плоскостями но амплитуда колебаний вдоль фронтов не постоянна, а меняется экспоненциально (рис. 32.1). След волны на оси есть синфазное колебание, экспоненциально убывающее или, нарастающее вдоль оси в зависимости от знака а. Вся волна перемещается как твердое тело в направлении оси х, перпендикулярно к фазовым фронтам.

Рис. 32.1. Двухмерный профиль неоднородной волны (ср. рис. 17.1). а — направление быстрейшего изменения фазы (направление бега волны), направление быстрейшего изменения амплитуды.

Вспомним, что для однородной волны направление перемещения волны как твердого тела было неопределенным, и мы условно выбрали его как направление, перпендикулярное к фронтам волны. Для неоднородных волн такой неопределенности нет и принятая нами условность оказывается обоснованной, так как однородную плоскую волну можно считать предельным случаем неоднородной волны при а . Скорость золны есть Она может быть как угодно мала, если только коэффициент экспоненты а достаточно велик по абсолютной величине, т. е. если амплитуда колебания достаточно быстро меняется вдоль оси След волны на оси, проведенной по любому другому направлению, будет синусоидальным по фазе и экспоненциально меняющимся по амплитуде. Ось направление быстрейшего изменения фазы (при постоянной амплитуде). Ось направление быстрейшего изменения амплитуды (при постоянной фазе). Эти два направления взаимно перпендикулярны.

Три отрезка длиной и соответственно три отрезка и а (при ) всегда образуют прямоугольные треугольники. Воднородной волне гипотенузой служит к, а в

неоднородной, бегущей вдоль оси х, гипотенузой служит ?. На рис. 32.2 показаны эти геометрические соотношения.

Формально неоднородную волну можно записать в той же форме, что и однородную, вводя мнимые медленности следов волны. Так, полагая можем записать (32.2) в том же виде, что и обычную однородную волну. Формальное сходство можно еще больше подчеркнуть, вводя и для неоднородной волны угол скольжения. В однородной волне величины равны, как мы видели, соответственно , где угол скольжения относительно оси х (угол между волновым вектором и осью Для неоднородной волны можно получить те же формулы, если ввести мнимый угол скольжения согласно соотношению Тогда Таким образом, неоднородную волну можно рассматривать как гармоническую волну с комплексным волновым вектором, образующим с заданной плоскостью мнимый угол скольжения.

Рис. 32.2. Геометрические соотношения между компонентами волнового век тора по осям координат для однородной и для неоднородной волны при одинаковой частоте.

Очевидно, неоднородная волна не может существовать во всем неограниченном пространстве, так как ее амплитуда растет в одну сторону оси z бесконечно. Если а положительно, то в полупространстве может существовать волна а в полупространстве -волна В слое, заключенном между двумя плоскостями, параллельными плоскости могут существовать обе неоднородные волны.

Неоднородная плоская волна не является чисто продольной волной: скорость частиц имеет компоненту, перпендикулярную к направлению распространения волны. В самом деле, из (32.2) следует

Интегрируя по времени, найдем компоненты смещения частиц:

Переходя к вещественной записи, имеем

Исключая множители, содержащие время, найдем уравнение траектории частиц:

Частицы в неоднородной волне движутся по эллипсам с полуосями с центрами в местах невозмущенного положения частиц. Большая ось лежит в направлении быстрейшего изменения фазы, т. е. в направлении распространения волны; малая ось — в направлении быстрейшего изменения амплитуды.

Неоднородная плоская волна, в отличие от однородной, может существовать и в несжимаемой среде. В самом деле, в несжимаемой среде так что уравнение (32.1) принимает вид В этом случае возможны волны вида Приблизительно такой вид имеют, например, гравитационные волны на поверхности воды. Хотя вода и сжимаема, но скорость гравитационных волн настолько мала (десятки по сравнению с скоростью звука в воде), что величиной можно пренебрегать по сравнению с Вообще, для плоских волн критерий возможности рассматривать данную среду как несжимаемую имеет вид Конечно, такие плоские волны неоднородные.

Неоднородную волну, бегущую по любому направлению, получим, формально заменяя в выражении для однородной плоской волны вещественный волновой вектор к комплексным волновым вектором

Так как единственное требование, налагаемое на гармоническую волну, — это удовлетворение уравнению (22.2), то, подставляя (32.3) в (22.2), найдем условие, которому должны удовлетворять векторы и а:

Приравнивая отдельно вещественные и мнимые части слева и справа, получим

При выполнении этих условий (32.3) есть неоднородная плоская волна. Направление быстрейшего изменения фазы (направление распространения волны) совпадает с вектором в этом направлении амплитуда волны остается постоянной. Направление быстрейшего изменения амплитуды совпадает с вектором а; в этом направлении фаза волны остается постоянной. Уравнения фронтов имеют вид Векторы и а взаимно перпендикулярны. Если совместить оси с векторами § и а, то вернемся к представлению неоднородной волны (32.2).

Теперь, располагая помимо обычных плоских волн еще и неоднородными волнами, фазовая скорость которых может быть сколь угодно мала, всегда сможем решить задачу: пристроить к любому гармоническому полю на плоскости суперпозицию уходящих от плоскости плоских гармонических волн в

полупространстве (в том числе и неоднородных), следом которой явилось бы данное поле на плоскости. Тем самым решается и задача о представлении в виде суперпозиции плоских волн любого поля в полупространстве, не содержащем источников звука (в том числе и источников на бесконечности).