ГЛАВА XI. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА

§ 109. Рассеяние звука на препятствии

До сих пор мы рассматривали только плоские бесконечные препятствия. В этой главе мы выясним, как влияет на звуковую волну препятствие конечных размеров. Препятствием будем считать любое тело из другого вещества, чем среда.

Поле, измененное препятствием, удобно представлять в виде суперпозиции двух полей: первичной волны, распространявшейся в среде в отсутствие препятствия, и рассеянного поля (вторичной волны) — добавки, вызванной наличием препятствия. При этом будем считать, что излучатели, создающие первичное поле, работают «одинаково» независимо от того, помещено препятствие в среду или нет (см. § 93).

Сделаем два замечания о самой постановке задачи о рассеянии. В гл. IX, рассматривая совместную работу нескольких излучателей, мы видели, что сами они могут явиться препятствиями для звуковых волн, создаваемых другими излучателями. Тогда мы пренебрегали рассеянным полем, потому что интересовались только особенностями «прямого» поля излучателей, к которому рассеяние на самих излучателях давало лишь малую поправку. Но теперь задача поставлена иначе: препятствия пассивны, никакого самостоятельного излучения не создают, поле в отсутствие препятствий известно, а мы интересуемся, как основной величиной, именно добавкой к первичному полю, вносимой препятствиями.

Второе замечание состоит в том, что рассеянные волны будут вторично и вообще повторно и многократно рассеиваться другими препятствиями. Такие рассеянные волны будут поправкой по отношению к однократно рассеянному полю, подобно тому как однократное рассеяние при совместной работе нескольких излучателей было поправкой к их первичному полю. Если однократно рассеянное поле мало по сравнению с первичным, то каждая вторично и многократно рассеянная волна мала по сравнению с однократно рассеянной, и ими можно пренебречь, если число рассеивателей не слишком велико. Но если рассеивателей много, то по мере распространения первичной волны произойдет накопление рассеянных волн, и в результате однократно рассеянное поле уже не будет мало по сравнению с первичным даже при малости

рассеяния от одного рассеивателя. Тогда пренебрежение вторичным и многократным рассеянием станет недопустимым. Нельзя пренебрегать вторичным и многократным рассеянием и в случаях, когда рассеяние на одном рассеивателе не мало. В настоящей книге мы не будем рассматривать эти более сложные случаи, требующие учета многократного рассеяния.

Если недопустимого накопления нет, то задачу о нахождении суммарного рассеянного поля всегда можно свести к задаче о рассеянии на отдельном препятствии: суммарное поле получится просто как суперпозиция полей, рассеянных однократно каждым препятствием в отдельности.

Поле, рассеянное данным препятствием, зависит не только от вида самого препятствия, но и от вида первичной волны. Будем рассчитывать рассеяние для первичной плоской бегущей волны. Расчет рассеяния для других типов первичных волн (стоячие волны, нормальные волны в волноводе и т. п.) дополнительных трудностей не представит.

Рассеяние на данном препятствии зависит от его формы и размеров и от сжимаемости и плотности вещества препятствия. Никакие другие свойства препятствия на рассеянии не сказываются. Если сжимаемость и плотность такие же, как у среды, то препятствие не вызывает рассеяния, каковы бы ни были его размеры и форма. В противном случае рассеяние происходит.

Препятствие движется в звуковом поле не так, как двигался бы вытесненный объем среды в отсутствие препятствия, а совершает некоторое дополнительное движение. Рассеянная волна и есть поле, создаваемое этим дополнительным движением. Но такое же поле создавало бы данное тело, совершающее это дополнительное движение в покоящейся среде. Значит, задачу о рассеянии звука препятствием в звуковой волне можно свести к задаче об излучении звука в покоящейся среде.

Если препятствие мало по сравнению с длиной волны, то дополнительное движение и рассеянное поле найти легко. Так, если препятствие имеет другую сжимаемость, чем среда, то оно изменяет свой объем либо больше, либо меньше, чем среда, в зависимости от того, какая сжимаемость больше. Дополнительное движение в этом случае — пульсация тела, и, следовательно, рассеяние монопольного типа. Если препятствие имеет другую плотность, чем среда, то оно либо отстает от среды, либо опережает ее, в зависимости от того, какая плотность больше. Дополнительное движение в этом случае — поступательное движение (осцилляции) тела, и, следовательно, рассеяние дипольного типа. Подробно эти два случая разобраны в следующих двух параграфах.

Рассеяние сильно зависит от соотношения между длиной волны рассеиваемого звука и размерами препятствия. Найти рассеяние для любых соотношений между размерами препятствия и длиной волны не удается. Для препятствий, малых по сравнению с длиной

волны, мы дадим общее решение. Если препятствие весьма велико по сравнению с длиной волны и ограничено плавной поверхностью, радиусы кривизны которой также очень велики по сравнению с длиной волны, то найти рассеянное поле можно при помощи лучевой картины (это относится, однако, только к идеальным препятствиям).

Действительно, в этом случае можно считать отдельные участки поверхности локально-плоскими и находить отражение от них по закону равенства углов падения и отражения луча. Позади тела образуется тень, по сечению равная поперечному сечению тела (рис. 109.1).

Рис. 109.1. Лучевая картина рассеяния звука телом, большим по сравнению с длиной волны. Область тени заштрихована.

Поле перед телом можно найти как сумму падающей волны и волны, уносимой лучами от поверхности тела. Поле позади тела равно нулю (мы отвлекаемся от дифракционных явлений, например от проникновений поля в «геометрическую тень» и т. п.). Таким образом, рассеянное поле образовано вне тени отраженными лучами; в области тени оно равно падающему полю, взятому с обратным знаком, и гасит первичное поле, давая совместно с ним нуль.

Найдем поток мощности рассеянного поля, уходящий от тела. Очевидно, отраженные лучи в сумме дадут поток, равный потоку мощности в первичной волне, падающей на тело. Еще столько же даст рассеянное поле в области тени, так как оно просто равно по модулю первичному полю. Итого полный поток мощности рассеянного поля через любую замкнутую поверхность, окружающую тело, равен удвоенному потоку, падающему на тело. Иногда рассеяние удается рассчитать точно по волновой теории (например, для сферического препятствия) для любой длины волны, в том числе

и для волн, при которых полная тень не образуется. В предельном случае бесконечно коротких волн такой точный расчет совпадает асимптотически с приведенным выше расчетом. Противоречий с законом сохранения энергии, конечно, нет, так как позади тела энергия суммарного поля равна нулю и мощность отсюда не уносится ни первичным, ни рассеянным полем: уносят энергию только отраженные лучи, и они уносят как раз столько, сколько приносит к телу первичная волна.

К потоку частиц такой подход был бы неприменим: отсутствие частиц позади тела нельзя истолковать как результат интерференции двух одинаковых полей разного знака. Для частиц рассеяние данным телом измеряется взятым дишь один раз потоком частиц в падающей волне, перекрываемым рассеивающим телом.

Рис. 109.2. К выводу формулы для допплеровского смещения частоты волны, рассеянной движущимся препятствием, направление падающей волны, направление наблюдения рассеянной волны.

Из приведенного выше рассуждения ясно, что рассеяние телом, большим по сравнению с длиной волны, зависит от ориентировки тела относительно первичной волны, но не зависит от длины волны, что находится в согласии с тем, что лучевые картины вообще не зависят от длины волны. Пока длина волны мала по сравнению со всеми характерными размерами тела, суммарный поток мощности рассеянной волны равен двойному потоку мощности первичной волны, падающему на тело.

Рассеяние волн телами, сравнимыми с длиной волны, — наиболее трудная задача. Она может быть решена только для простейших случаев: рассеяние на шаре, диске, эллипсоиде и некоторых других телах. Такие задачи, а также нахождение деталей структуры поля рассеяния большими препятствиями относятся к теории дифракции; в этой книге они не рассматриваются.

Поскольку рассеяние волн малыми препятствиями сильно зависит от соотношения между длиной волны звука и размерами препятствия, будем рассматривать только рассеяние гармонических волн. Частота гармонической волны, рассеянной на неподвижном препятствии, не меняется. Рассеяние волн с произвольной зависимостью от времени можно найти при помощи метода Фурье: путем разложения первичной волны на гармонические, нахождения рассеяния каждой гармонической компоненты в отдельности и последующего суммирования рассеянных полей всех частот. Ввиду зависимости рассеяния от длины волны спектр рассеянных волн вообще отличается от спектра первичной волны и, кроме того, может оказаться различным для разных направлений наблюдения.

В заключение этого параграфа приведем формулы допплеровского сдвига частоты рассеянного звука при движении

рассеивателя. В качестве первичного поля возьмем плоскую бегущую волну и воспользуемся гюйгенсовой картиной вторичных волн.

Обозначим через угол между скоростью препятствия и и первичной волной через угол между и и рассеянной волной (рис. 109.2). Тогда препятствие «принимает» волну (см. § 43), изменяя ее частоту в отношении , и «переизлучает» волну, изменяя частоту в отношении где число Маха для движения препятствия. В итоге, обозначая частоту первичной волны через , найдем, что частота рассеянных волн различна для разных направлений наблюдения и выражается формулой

В частности, при наблюдении в направлениях сдвиг частоты равен нулю.