§ 131. Уравнения квадратичной поправки для неодномерных волн

До сих пор мы рассматривали только одномерные волны, для которых было целесообразно применять лагранжевы уравнения. В неодномерном случае оказывается удобнее пользоваться эйлеровыми уравнениями. Точные уравнения гидродинамики в эйлеровой форме запишем в виде

Первое из этих уравнений — уравнение движения, второе — уравнение неразрывности, третье — уравнение состояния.

Напишем приближенные уравнения, представляя, как и раньше, все величины в виде рядов по степеням числа Маха и ограничиваясь членами первого порядка (линейное приближение) и второго порядка (квадратичная поправка). Линейные величины будем обозначать одним штрихом, а квадратичные — двумя штрихами. Как и выше, напишем уравнения отдельно для линейных и отдельно для квадратичных величин.

Итак, положим

Первые два уравнения (131.1) дадут

Отбрасывая члены порядка выше второго и разделяя величины по порядку малости, найдем для величин первого порядка

для величин второго порядка

Таким образом, поле первого приближения удовлетворяет однородным линейным уравнениям, а поправка — тем же уравнениям с правой частью, т. е. со сторонними воздействиями. Преобразуем эти уравнения к виду, удобному для исследования.

Из первого из уравнений (131.3) видно, что поле скоростей первого порядка потенциально. В этом случае, как известно,

Подставляя (124.5) в уравнения (131.4) и пользуясь уравнениями (131.3), получим последовательно

Но есть плотность кинетической, плотность внутренней энергии поля первого порядка. Значит, уравнения для квадратичной поправки можно записать в виде

Отсюда видно, что квадратичную поправку можно считать волной, создаваемой сторонними источниками: дипольными источниками с силой диполя, распределенной с плотностью , и монопольными источниками с объемной скоростью, распределенной с плотностью

Исключая из уравнений (131.5) скорость частиц, получим для квадратичной поправки волновое уравнение с правой частью:

Для идеального газа найдем, пользуясь (124.12):

Для бегущей волны как мы знаем, всегда и уравнение (131.6) можно записать в виде

что в точности совпадает по форме с уравнением (124.9); но, во-первых, оно, в отличие от последнего, написано в эйлеровых координатах, а не в лагранжевых и, во-вторых, относится только к бегущим волнам, а не к произвольным одномерным волнам, как уравнение в лагранжевых координатах.

Если бегущая волна в первом порядке задана одинаковыми формулами в эйлеровых и лагранжевых координатах, то и квадратичные поправки выразятся одинаковыми формулами. Решения же § 130, конечно, не переносятся на эйлеровы координаты без дополнительных изменений.

Для задачи с первым приближением в виде бегущей плоской волны и для случая, когда начальное значение квадратичной поправки принимается равным нулю, решение имеет вид

что совпадает с приближенной формулой (122.7), полученной из точного решения.