§ 27. Групповая скорость. Распространение узкополосного сигнала

Монохроматическая волна не может передать никакой информации, никакого сигнала: в такой волне в каждой точке происходили, происходят и всегда будут неизменно происходить гармонические колебания. Чтобы передать сигнал при помощи волны, необходимо, чтобы в ней что-нибудь менялось, чтобы волна была модулирована тем или иным способом, например, чтобы она длилась ограниченный промежуток времени. Это уже не будет монохроматическая волна; такой сигнал можно рассматривать как интерференционную картину, образованную суперпозицией гармонических волн разных частот. Информацию передаст именно эта интерференционная картина.

Но в диспергирующей среде сама интерференционная картина меняется, так как компоненты разных длин волн распространяются с разной скоростью. Таким образом, в диспергирующей среде передаваемая информация оказывается искаженной.

Какова глубина этого искажения и в какой мере все-таки можно передавать сигнал в диспергирующей среде, можно выяснить при помощи фурье-представления волны.

Выясним раньше всего, как найти изменение данного профиля волны при ее распространении в среде с заданным законом дисперсии. Для этого достаточно выполнить следующие действия: разложим по Фурье данный, профиль на сумму синусоид различных длин волн и припишем каждой синусоиде временной множитель соответственно дисперсионному уравнению среды, как сказано в предыдущем параграфе. Каждая из полученных таким образом компонент — свободная гармоническая волна, фазовая скорость

которой может быть найдена из дисперсионного уравнения. За заданный промежуток времени каждая синусоида пробежит расстояние, пропорциональное ее скорости. Сложив эти синусоиды в их новом положении, получим новую форму профиля.

В отсутствие дисперсии весь набор гармоник просто сместится на одно и то же расстояние как одно целое, и в результате профиль волны также сдвинется на то же расстояние, сохранив свою форму. Но в диспергирующей среде смещения отдельных синусоид различны, так как различны их фазовые скорости. Синусоиды «расфа-зируются» друг с другом по мере распространения, и их суперпозиция по истечении некоторого времени даст уже новую интерференционную картину — новый профиль, другой формы, чем исходный. Сигнал, распространяясь, меняет свою форму. Поэтому понятие скорости к такому сигналу неприменимо.

Из сказанного ясна связь между возможностью передачи информации при помощи волны: и применимостью к волне понятия скорости.

Все же удается найти некоторый элемент интерференционной картины, который не меняется при распространении и при наличии дисперсии, если спектр сигнала достаточно узок, т. е. если длины волн (и частоты) компонент данной волны мало отличаются друг от друга. Этот элемент — огибающая интерференционной картины. Если спектр узкий то, как сейчас покажем, огибающая сигнала не меняет своей формы и перемещается с некоторой определенной скоростью, хотя сам сигнал внутри огибающей свою форму меняет.

Скорость огибающей называют групповой скоростью. Вводя групповую скорость, мы обобщаем понятие скорости для волн: сохраняет форму все же не волна, а только ее огибающая. Но это дает нам возможность отождествлять форму огибающей, подобно тому как в бездисперсионной среде мы могли отождествлять форму самой волны. И это снова дает нам возможность передавать информацию при помощи волн, даже в диспергирующих средах.

Итак, рассмотрим узкополосный сигнал — например «синусоиду с медленно меняющейся амплитудой». Этот термин условен: амплитуда по определению — постоянная величина. Рис. 27.1 поясняет этот термин: на нем показана «моментальная фотография» участка интерференционной картины двух монохроматических волн близкой длины волны, бегущих в одну сторону. «Длина периода» получающихся пространственных биений («длина периода» огибающей) равна где близкие волновые числа компонент. На одной такой длине укладывается длин волн составляющих, что при близких большая величина. Огибающая биений — квазипериодическая кривая.

Возможна волна в виде «синусоиды с переменной амплитудой», у которой огибающая — ограниченная в пространстве кривая, выделяющая некоторую «группу» или волн (рис. 27.2). Спектр такой группы, даваемый интегралом Фурье исходной волны, как можно показать, обязательно сплошной.

Рис. 27.1. Биения, их огибающая (тонкая линия) и их дискретный спектр — две близкие спектральные линии

Чем уже спектр, тем длиннее имеет место соотношение где длина цуга, ширина спектра, т. е. длина интервала волновых чисел спектра, вне которого амплитуды спектра пренебрежимо малы. Это соотношение можно назвать принципом неопределенности в акустике: чем уже спектр, тем хуже локализована волна в среде, т. е. тем больший участок она занимает.

Рис. 27.2. Группа волн, ее огибающая и ее сплошной спектр.

Аналогичное соотношение неопределенностей имеет место и для временного спектра процессов: чем уже спектр, тем хуже временная локализация процесса, т. е. тем большее время он длится.

Найдем вначале групповую скорость для наглядного и наиболее простого случая биений между двумя монохроматическими волнами. Пусть составляющие имеют длины волн и и фазовые скорости Положим для определенности («нормальная дисперсия»). Чтобы найти скорость огибающей, применим «метод остановки движения» ко второй составляющей и найдем скорость огибающей по отношению к новой системе координат, движущейся относительно среды со скоростью складывая относительную скорость огибающей с получим искомую скорость огибающей относительно среды, т. е. групповую скорость .

В новой системе координат вторая синусоида неподвижна, а первая движется относительно нее со скоростью На рис. 27.3 обе синусоиды изображены схематически, в виде решеток с шагом, равным соответственной длине волны. Будем следить за каким-либо определенным местом огибающей, например за местом совпадения каких-либо штрихов решеток. При движении первой решетки относительно второй место совпадения будет

переходить с одного штриха на другой. Средняя скорость этого перемещения и есть скорость огибающей в новой системе координат. Так как для перемещения места совпадения с одного штриха на соседний (при выбранном соотношении между длинами волн и скоростями — на предыдущий штрих) первая волна должна пройти расстояние то этот переход займет промежуток времени за это время место совпадения сместится в отрицательном направлении на расстояние скорость перемещения места совпадения штрихов, т. е. относительная скорость перемещения огибающей, равна

Рис. 27.3. К выводу формулы для групповой скорости. «Гребенки» длин волн напоминают основную и нониусную шкалы штангенциркуля.

Групповая скорость равна, следовательно,

Эта формула остается справедливой и при любом другом соотношении между длинами волн и скоростями составляющих волн.

Легко получить и другие формы записи этого соотношения:

Если разности волновых чисел и частот малы по сравнению с самими волновыми числами и частотами, то групповую скорость можно записать в виде

Из полученных формул видно, что групповая скорость совпадает с фазовой только в том случае, когда фазовая скорость не зависит от длины волны, т. е. в отсутствие дисперсии. При наличии дисперсии групповая скорость, как и фазовая, зависит от длины волны (или от частоты) составляющих. Как и фазовую скорость, групповую скорость в принципе можно найти из дисперсионного уравнения. Если дисперсионное уравнение дано в виде (26.5), то групповая скорость равна

Групповую скорость картины биений можно найти и расчетным способом. В самом деле, картина биений есть суперпозиция двух волн:

Это выражение можно записать так:

Если то выражение в фигурных скобках — медленно меняющаяся функция по сравнению с множителем за скобками. Волну при такой записи картины биений называют несущей. Функцию

называют огибающей. Огибающая бежит без изменения со скоростью

Изменение волны в целом можно представить себе как перемещение огибающей без изменения формы, происходящее с групповой скоростью, и перемещение несущей внутри огибающей, происходящее с фазовой скоростью. Относительно огибающей фаза несущей бежит со скоростью При нормальной дисперсии эта скорость положительна, при аномальной дисперсии — отрицательна.

Групповую скорость для более сложного случая — суперпозиции произвольного числа монохроматических волн — можно найти аналогичным расчетом. Пусть

и пусть длины волн составляющих настолько близки, что для любой пары волн номеров тип

Представим данную суперпозицию в виде

Учитывая условие близости частот и длин волн, имеем приближенно

С этой степенью точности получим

И в этом случае огибающая суперпозиции волн (выражение в фигурных скобках) также распространяется/не изменяя своей формы, со скоростью и, в то время как несущая бежит внутри огибающей.

То же рассуждение годится и для суперпозиции не только дискретного, но и непрерывного множества монохроматических волн, т. е. для волны со сплошным спектром, при условии достаточно узкого спектра разложения волны в интеграл Фурье. «Моментальную фотографию» такой суперпозиции можно записать в виде

где огибающая, медленно меняющаяся по сравнению с экспоненциальным множителем и быстро спадающая за пределами «длины цуга»: спектр ее лежит в области волновых чисел, много меньших волнового числа несущей монохроматической волны, имеющей частоту Согласно сказанному выше распространение такой группы будет происходить по закону

где и по-прежнему определяется формулами (27.3), в которых все величины берутся для значения несущей частоты Дифференцируя уравнение (26.6), получим

откуда, пользуясь (26.7), найдем, что групповая скорость изгибных волн вдвое больше фазовой скорости волн этой же частоты:

Аналогично из (26.8) и (26.9) найдем, что групповая скорость гравитационных волн вдвое меньше фазовой скорости. В обоих примерах групповая скорость зависит от частоты (длины волны).

Важно отметить, что групповая скорость может сильно отличаться от фазовых скоростей всех монохроматических волн, входящих в состав спектра данного сигнала, несмотря на то, что

в узкополосном по частоте сигнале все составляющие имеют близкие фазовые скорости.

Уточним, что значит требование «достаточной узости» спектра волны. Групповая скорость получается одинаковой для любой пары составляющих только приближенно, в результате приравнивания отношений конечных разностей производной в точке В действительности эти отношения вообще отличны от производной, и поэтому огибающая будет постепенно менять свою форму, причем тем быстрее, чем шире спектр волны. Для того чтобы найти, в течение какого времени и на каком расстоянии можно еще пренебрегать изменением формы огибающей для волны с заданной шириной спектра, учтем следующий член разложения отношения по малой величине

Члены высших порядков по отношению к малой разности волновых чисел опущены. Вызванная опусканием второго члена ощибка в фазе составляющих за время Т не превысит

где ширина спектра волновых чисел. Пока эта ошибка остается малой по сравнению с единицей, можно считать, что огибающая не меняет своей формы и движется с групповой скоростью, определяемой как в точке Таким образом, время, в течение которого можно считать огибающую неизменной, должно удовлетворить неравенству

Так как огибающая движется со скоростью и, то отсюда следует, что она сохраняет свою форму на отрезке пути удовлетворяющем неравенству

Для данного времени пробега Т или данной длины пробега волны I можно считать спектр узким и применять понятие групповой скорости, а огибающая волны сохранит свою форму, если выполнены условия

соответственно.